(ITA-89) Escreva e desenvolvimento do binômio \left(\operatorname{tg}^{3} x-\operatorname{cosec}^{11} x\right)^{11}, onde m é um número inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de sen x e
\cos \mathrm{x}. Para determinados valores do expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela P, que não conterá a função sen x . Seja m o menor valor para o qual isto ocorre. Então P=-64 / 9 quando x for igual a:
a) x=\pi / 3+2 k \pi, k inteiro
b) x= \pm \pi / 3 \div k \pi, k inteiro
c) c=\pi / 4+k \pi, k inteiro
d) x= \pm \pi / 6+2 k \pi, k inteiro

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o binômio
\bigl(\operatorname{tg}^{3}x-\operatorname{cosec}^{11}x\bigr)^{11}
em potências inteiras de \operatorname{sen} x e \cos x, e afirma que “ m” é um inteiro positivo cujo menor valor torna possível existir no desenvolvimento uma parcela P sem fator \operatorname{sen} x. Em seguida pede o valor de x para o qual P=-64/9.

Passo 2

Observando cuidadosamente, notamos que o texto fala de um parâmetro “ m” mas não há nenhuma incógnita “ m” no binômio dado, cujos expoentes são fixos ( 3 e 11). Como consequência, não há como determinar
  1. o que exatamente é esse “ m”,
  2. qual é o termo P sem \operatorname{sen} x,
  3. nem seu valor em função de x.

Passo 3

Sem uma definição consistente de “ m” no próprio enunciado, falta informação essencial para:
  • saber a qual binômio paramétrico devemos aplicar o desenvolvimento;
  • encontrar o termo livre de \operatorname{sen} x;
  • impor P=-64/9 e resolver para x.

Resposta

Não é possível resolver a questão porque o enunciado está inconsistente: menciona um inteiro m cuja definição não aparece no binômio dado, tornando impossível identificar o termo P e obter o valor de x.

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