(ITA-SP) As interseções das retas r: x-3 y+3=0, s: x+2 y-7=0 e t: x+7 y-7=0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de comprimento. Determine:
a) A área total da superfície do prisma.
b) O volume do prisma.

Passo 1

O enunciado dá três retas
r:x-3y+3=0, s:x+2y-7=0, t:x+7y-7=0
cuja interseção, duas a duas, forma os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura h=2. Precisamos de geometria analítica (interseção de retas, distância entre pontos, área de triângulo por determinante) e de fórmulas de prisma (volume e área total).

Passo 2

Encontramos as interseções:
logo :
logo :
logo (C=(7,0)].

Passo 3

Calculamos as arestas do triângulo pelo teorema de Pitágoras:
AB=raiz(3-0)^2+(2-1)^2=raiz10, BC=raiz(7-0)^2+(0-1)^2=raiz50=5raiz2,
CA=raiz(7-3)^2+(0-2)^2=raiz20=2raiz5

Passo 4

Usamos fórmula do determinante para a área da base:
Áreatriang<= ABC =12l|xA(yB-yC)+xB(yC-yA)+xC(yA-yB)r| =12l|3(1-0)+0(0-2)+7(2-1)r| =12(3+7)=5 Á

Passo 5

O volume do prisma é
V=Áreatriang<=times h=5times2=10 Á

Passo 6

A área lateral é perímetro da base vezes altura:
P=AB+BC+CA=raiz10+5raiz2+2raiz5,
Árealateral=Pcdot h =2l(raiz10+5raiz2+2raiz5r) Á
Logo a área total é
Áreatotal =Árealateral+2cdotÁreatriang<= =2l(raiz10+5raiz2+2raiz5r)+2cdot5 ÁÁÁ

Resposta

a) 2l(raiz10+5raiz2+2raiz5r)+10.
b) 10.

Exercícios de Livros Relacionados