(ITA-81) Os lados de um triângulo medem a, be c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centimetros, se forem satisfeitas as relações 3 a= 7 c e 3 \mathrm{~b}=8 \mathrm{c}.
a) 30^{\circ}
b) 60^{\circ}
c) 45^{\circ}
d) 120^{\circ}

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo com lados a, b e c e dá as relações
3a=7c \quad\text{e}\quad 3b=8c.
Pede o valor do ângulo A oposto ao lado a. Para isso, vamos usar a lei dos cossenos, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Das relações 3a=7c e 3b=8c segue
a=\frac{7}{3}c, \quad b=\frac{8}{3}c.

Passo 3

A lei dos cossenos diz que, para o ângulo A oposto a a,
a^2 \;=\; b^2 + c^2 \;-\; 2\,b\,c\cos A.
Substituindo a e b em função de c, obtemos
\Bigl(\tfrac{7}{3}c\Bigr)^2 =\Bigl(\tfrac{8}{3}c\Bigr)^2 + c^2 -2\cdot\tfrac{8}{3}c\cdot c\;\cos A.

Passo 4

Simplificando os termos:
\frac{49}{9}c^2 =\frac{64}{9}c^2 + c^2 - \frac{16}{3}c^2\cos A \quad\Longrightarrow\quad 49 = 73 - 48\cos A.

Passo 5

Isolando \cos A:
48\cos A = 73 - 49 = 24 \quad\Longrightarrow\quad \cos A = \tfrac{1}{2}.
Logo
A = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = 60^\circ.

Resposta

(b)

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