(ITA-58) Provar que se cm uma P.A. ć tal que a soma dos n primciros termos é igual a n+I vezes a metade do n-ésimo termo entào r= a 1 .

Passo 1

O enunciado considera uma progressão aritmética de primeiro termo a_1 e razão r e afirma que a soma dos n primeiros termos satisfaz
S_n = \bigl(n+1\bigr)\times \frac{1}{2}\,a_n.
Para resolver, vamos usar as fórmulas conhecidas de soma S_n e de termo geral a_n de uma P.A.

Passo 2

A soma dos n primeiros termos de uma P.A. pode ser escrita como
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(a_1 + a_n\bigr),
e o n-ésimo termo é
a_n = a_1 + (n-1)\,r.

Passo 3

Substituindo essas expressões na condição dada,
\frac{n}{2}\,\bigl(a_1 + a_n\bigr) \;=\;\frac{n+1}{2}\,a_n.
Multiplicando os dois lados por 2,
n\,(a_1 + a_n) = (n+1)\,a_n \;\;\Longrightarrow\;\; n\,a_1 + n\,a_n = (n+1)\,a_n \;\;\Longrightarrow\;\; n\,a_1 = a_n.

Passo 4

Como a_n = a_1 + (n-1)\,r, a igualdade n\,a_1 = a_n fica
n\,a_1 = a_1 + (n-1)\,r \;\;\Longrightarrow\;\; n\,a_1 - a_1 = (n-1)\,r \;\;\Longrightarrow\;\; (n-1)\,a_1 = (n-1)\,r.
Para n>1, conclui-se que
r = a_1.

Resposta

r = a_1

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