(ITA-87) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2 p. A altura relativa à hipotenusa é:
9) p(\sqrt{2}-1)
a) p \sqrt{2}
b) (p+1)(\sqrt{3}-1)
d) 4 p(\sqrt{2}-1)
e) 8 p(\sqrt{2}+4)

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro vale 2p. Como ele é isósceles e retângulo, os catetos têm o mesmo comprimento; vamos chamar cada cateto de a. Precisamos encontrar a altura relativa à hipotenusa.

Passo 2

O perímetro é a soma dos dois catetos mais a hipotenusa, ou seja:
2a + a\sqrt{2} = 2p.
Fatorando a:
a\,(2 + \sqrt{2}) = 2p \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2p}{2 + \sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador:
a = \frac{2p}{2 + \sqrt{2}}\cdot\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2p\,(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = p\,(2 - \sqrt{2}).

Passo 3

Numa pirâmide retângula, a altura relativa à hipotenusa vale o produto dos catetos dividido pela hipotenusa. Aqui isso dá
h = \frac{a \cdot a}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}.
Substituindo a = p\,(2 - \sqrt{2}):
h = \frac{p\,(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = p\!\biggl(\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\biggr) = p\,(\sqrt{2} - 1).

Passo 4

Entre as alternativas, a que coincide com h = p(\sqrt{2}-1) é a de letra “9)”.

Resposta

p(\sqrt{2}-1)

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