(ITA-89) Numa progressão aritmética com n ternos, n>1, sabemos que o primeiro é igual a (1+n) / n e a soma deles vale (1+3 n) / 2. Entào o produto da razāo desta progressão pclo último termo é igual a:
a) 2 n
b) 2 / n
c) 3 n
d) 3 / n
e) 5 n
Soluçāo: Alternativa B
S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2} \Rightarrow \frac{1+3 n}{2}=\frac{\left(\frac{1+n}{n}+a_{n}\right) n}{2} \Rightarrow 1+3 n=1+n+n . a_{1 n} \Rightarrow a_{n}=2.
Assim: a_{11}=a_{1}+(n-1) r \Rightarrow 2=\frac{1}{n}+1+(n-1) r \Rightarrow r=\frac{1}{n}.
Consequentemente: r: a_{n}=\frac{2}{n}.

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética de n termos ( n>1), com primeiro termo
a_{1}=\frac{1+n}{n}
e soma
S_{n}=\frac{1+3n}{2}.
Queremos achar o produto da razão r pelo último termo a_{n}. Para isso usaremos a fórmula da soma de uma PA e a expressão do termo geral.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da soma de n termos de uma PA:
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\,n}{2}.
Substituindo S_{n}=\tfrac{1+3n}{2} e a_{1}=\tfrac{1+n}{n}:
\frac{1+3n}{2} = \frac{\Bigl(\frac{1+n}{n}+a_{n}\Bigr)\,n}{2} \;\Longrightarrow\; 1+3n = \bigl(1+n\bigr)+n\,a_{n} \;\Longrightarrow\; n\,a_{n}=2n \;\Longrightarrow\; a_{n}=2.

Passo 3

Agora usamos a relação do n-ésimo termo em PA:
a_{n}=a_{1}+(n-1)\,r.
Como a_{n}=2 e a_{1}=\tfrac{1+n}{n}=1+\tfrac1n, temos
2 = 1+\frac1n+(n-1)\,r \;\Longrightarrow\; (n-1)\,r = 2-\Bigl(1+\frac1n\Bigr) = 1-\frac1n = \frac{n-1}{n} \;\Longrightarrow\; r=\frac1n.

Passo 4

Finalmente, o produto pedido é
r\cdot a_{n} = \frac1n\cdot 2 = \frac{2}{n}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{n} (alternativa B)

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