(ITA-SP) A progressão geométrica infinita (a1, a2, ldots, an, ldots) tem razão r<0. Sabe-se que a progressão infinita ( a1, a6, ldots, a5 n+1, ldots ) tem soma 8 e a progressão infinita (a5, a10, ldots, a5 n, ldots) tem soma 2 . Determine a soma da progressão infinita (a1, a2, ldots, an, ldots).

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica infinita l(anr) com razão r<0.
Precisamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se lvert qrvert<1,
sumk=0^inftyA,q^k=A1-q
Aqui vamos aplicá-la a duas sub-progressões para achar r e a1, e depois calcular a soma da série original.

Passo 2

Para a sub-progressão l(a1,a6,a11,dotsr) temos primeiro termo a1 e razão r^5. Logo, sua soma é
S1=sumn=0^infty a1,(r^5)^n=a11-r^5=8
Para a sub-progressão l(a5,a10,a15,dotsr) o primeiro termo é a5=a1,r^4 e a razão continua r^5. Assim,
S2=sumn=0^infty a1,r^4,(r^5)^n=a1,r^41-r^5=2

Passo 3

Dividindo S2 por S1 para eliminar a1/(1-r^5), obtemos
S2S1=a1,r^4/(1-r^5)a1/(1-r^5)=r^4=28=tfrac14
Como r<0,
r=-l(tfrac14r)^1/4=-1raiz2

Passo 4

Substituindo em S1=dfraca11-r^5=8, precisamos de r^5=r^4cdot r=tfrac14cdotl(-tfrac1raiz2r)=-tfrac14raiz2.
Então
1-r^5=1-(-tfrac14raiz2)=1+tfrac14raiz2=4raiz2+14raiz2,
e daí
a1=8l(1-r^5r) =8cdot4raiz2+14raiz2 =8+raiz2

Passo 5

A soma da série original é
S=sumn=1^infty a1,r^,n-1=a11-r =8+raiz21-(-tfrac1raiz2) =8+raiz21+tfrac1raiz2 =8raiz2+2raiz2+1 =14-6raiz2

Resposta

A soma da progressão infinita l(a1,a2,dotsr) é 14-6raiz2.

Exercícios de Livros Relacionados