(ITA-SP) A progressão geométrica infinita
tem razão
. Sabe-se que a progressão infinita (
) tem soma 8 e a progressão infinita
tem soma 2 . Determine a soma da progressão infinita
.
Passo 1
O enunciado fala de uma progressão geométrica infinita
com razão
.
Precisamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se ,
Precisamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se
Aqui vamos aplicá-la a duas sub-progressões para achar
e
, e depois calcular a soma da série original.
Passo 2
Para a sub-progressão
temos primeiro termo
e razão
. Logo, sua soma é
Para a sub-progressão
o primeiro termo é
e a razão continua
. Assim,
Passo 3
Dividindo
por
para eliminar
, obtemos
Como
,
Passo 4
Substituindo em
, precisamos de
.
Então
Então
e daí
Passo 5
A soma da série original é
Resposta
A soma da progressão infinita
é
.