(Fuvest-SP) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1=1+x, a2=6 x, a3=2 x^2+4, em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a ).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são
a1=1+x, a2=6x, a3=2x^2+4,
onde x é real. Em toda PA a diferença comum d é constante, ou seja
a2-a1=a3-a2
Vamos usar essa condição para determinar x.

Passo 2

Escrevendo a condição
6x-(1+x)=(2x^2+4)-6x
temos
5x-1=2x^2-6x+4
e, passando tudo para um lado,
2x^2-11x+5=0
O discriminante é
De<a = (-11)^2-4cdot2cdot5=121-40=81,
logo
x=11pm94Longrightarrow x=5ou x=12

Passo 3

Entre os valores 5 e tfrac12, o menor é x=tfrac12. Para esse x temos
a1=1+12=32,
a2=6cdot12=3,
logo a razão da PA é
d=a2-a1=3-32=32

Passo 4

A soma dos n primeiros termos de uma PA é
Sn=n2l(2a1+(n-1)dr)
Para n=100, a1=tfrac32 e d=tfrac32, vem
S100 =1002l(2cdot32+99cdot32r) =50l(3+2972r) =50cdot3032 =25cdot303 =7575

Resposta

a) x=5 ou x=tfrac12
b) 7575

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