(UF-PE) Quatro amigos A, B, C e D compraram um presente que custou R$ 360,00.
Se:
  • A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D;
  • B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D; e
  • 360,00 Se: - A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D; - B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D; e - pagou um quarto do que pagaram juntos pagou um quarto do que pagaram juntos e e .
Quanto pagou D, em reais?

Passo 1

O enunciado diz que quatro amigos A, B, C e D pagaram juntos um presente de R$ 360,00, com as seguintes condi\c{c}~oes:
,A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D;
,B pagou um ter’c{o} do que pagaram juntos A, C e D;
,C pagou um quarto do que pagaram juntos A, B e D.
Conte’udo: montar e resolver um sistema linear para encontrar D.

Passo 2

Vamos traduzir cada condição em equação. Sejam A,B,C,D os valores pagos:
A = tfrac12l(B + C + Dr), B = tfrac13l(A + C + Dr), C = tfrac14l(A + B + Dr),
e ainda
A + B + C + D = 360

Passo 3

Eliminando frações, multiplicamos cada uma pelas denominadoras:
2A = B + C + D, 3B = A + C + D, 4C = A + B + D
Reescrevendo:
2A - B - C - D = 0, -A +3B - C - D = 0, -A - B +4C - D = 0

Passo 4

Somando as três equações acima:
(2A - B - C - D) + (-A +3B - C - D) + (-A - B +4C - D) = 0
resulta em
-B -2C +5D = 0 Longrightarrow B + 2C = 5D

Passo 5

Da segunda equação sem fração 3B = A + C + D temos
A + C = 3B - D
Substituindo B = 5D - 2C obtido no passo anterior,
A + C = 3(5D - 2C) - D = 15D -6C -D =14D -6C Longrightarrow A = 14D -7C

Passo 6

Usamos agora a terceira equação sem fração 4C = A + B + D, isto é,
A + B = 4C - D
Substituindo A=14D-7C e B=5D-2C,
(14D-7C)+(5D-2C) =4C - D ;Longrightarrow; 19D -9C =4C - D ;Longrightarrow; 13C =20D ;Longrightarrow; C = tfrac2013D
Logo
B = 5D - 2C = 5D -2l(tfrac2013Dr) = tfrac2513D, A = 14D -7C = 14D -7l(tfrac2013Dr) = tfrac4213D

Passo 7

Finalmente, da soma total
A + B + C + D = 360
substituímos as expressões em função de D:
4213D + 2513D + 2013D + D = 360 Longrightarrow 42+25+20+1313D = 360 Longrightarrow 10013D = 360 Longrightarrow D = 360cdot13100 = 46,80

Resposta

D pagou R$ 46,80.

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