(ITA-02) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras \mathrm{a}, \mathrm{b} e c ?
a) 1692
b) 1572
c) 1520
d) 1512
e) 1392

Passo 1

O enunciado pede para formar anagramas de comprimento 4, com letras distintas, usando as 10 primeiras letras do alfabeto (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j), de modo que cada anagrama contenha exatamente duas das letras a,b,c. Vamos usar combinatória básica: escolha de elementos e permutações.

Passo 2

Escolher quais 2 das 3 letras \{a,b,c\} estarão no anagrama. O número de maneiras é
\binom{3}{2} = 3.

Passo 3

Escolher as outras 2 letras de forma que não sejam a,b,c, ou seja, das 7 letras restantes (d,e,f,g,h,i,j). O número de escolhas é
\binom{7}{2} = 21.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o número de conjuntos de 4 letras que satisfazem a condição é
\binom{3}{2}\times \binom{7}{2} = 3 \times 21 = 63.

Passo 5

Cada conjunto de 4 letras pode ser disposto em 4! ordens diferentes. Como
4! = 24,
temos que o total de anagramas é
63 \times 24 = 1512.

Resposta

(d) 1512

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