Resolva o seguinte sistema: \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=-2 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

Neste exercício vamos resolver um sistema linear 3\times3 usando o método de eliminação de Gauss e depois substituição regressiva. O sistema é:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=6,\\\\ 3x_{1}-4x_{2}+2x_{3}=-2,\\\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=0. \end{cases}
Primeiro montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares de linha para triangularizar.

Passo 2

A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 6\\\\ 3 & -4 & 2 & -2\\\\ 2 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right].
Como pivô em (1,1) usamos 1. Para zerar abaixo fazemos
R_2 \to R_2 - 3 \cdot R_1 e R_3 \to R_3 - 2 \cdot R_1.

Passo 3

Após essas operações obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 6\\\\ 0 & -7 & 5 & -20\\\\ 0 & 3 & 3 & -12 \end{array}\right].
Agora o pivô em (2,2) é -7. Para zerar o 3 em (3,2) fazemos R 3 \toR 3 +\tfrac{3}{7} \cdotR 2.

Passo 4

Aplicando R 3 \toR 3 +\tfrac{3}{7} \cdotR 2 a terceira linha fica
[\,0\;0\;\tfrac{36}{7}\mid -\tfrac{144}{7}\,],
ou seja a equação
\frac{36}{7}x_{3}=-\frac{144}{7}.

Passo 5

Isolando x_{3} na última equação:
x_{3}=-4.

Passo 6

Substituindo x_{3}=-4 na segunda equação -7x_{2}+5x_{3}=-20:
-7x_{2}+5(-4)=-20 \quad\Longrightarrow\quad -7x_{2}-20=-20 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=0.

Passo 7

Por fim, na primeira equação x_{1}+x_{2}-x_{3}=6 com x_{2}=0 e x_{3}=-4:
x_{1}+0-(-4)=6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+4=6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=2.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,0,-4)

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