(ITA-SP) Seja k um número inteiro positivo e Ak=j in N: j <= k e mdc( j, k ) =1.
Verifique se n(A3), n(A9), n(A27) e n(A81) estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão.

Passo 1

O enunciado define, para cada inteiro positivo k, o conjunto
Ak = ,j in N: j <= k e gcd(j,k)=1,
e pede para verificar se a sequência
,n(A3),,n(A9),,n(A27),,n(A81)
está em progressão aritmética (PA) ou progressão geométrica (PG) e, em caso afirmativo, qual a razão.

Passo 2

Vamos usar que n(Ak) é exatamente a função totiente de Euler varphi(k). Em particular, se k=p^m com p primo, vale
varphi(p^m) = p^m - p^m-1 = p^m-1(p-1)

Passo 3

Como 3 é primo e nossos k são potências de 3, temos para m=1,2,3,4:
varphi(3^m) = 3^m-1(3-1) = 2cdot 3^m-1
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varphi(3) = 2cdot3^0 = 2, varphi(9) = 2cdot3^1 = 6, varphi(27) = 2cdot3^2 = 18, varphi(81) = 2cdot3^3 = 54

Passo 4

Testando se esses valores formam uma PA, calculamos as diferenças:
6 - 2 = 4, 18 - 6 = 12, 54 - 18 = 36
Como não são todas iguais, não é progressão aritmética.

Passo 5

Testando se formam uma PG, calculamos as razões:
62 = 3, 186 = 3, 5418 = 3
As razões são todas iguais a 3, logo é progressão geométrica de razão 3.

Resposta

A sequência é uma progressão geométrica de razão 3.

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