(ITA-SP) Seja
um número inteiro positivo e
e mdc(
)
.
Verifique se
e
estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão.
Passo 1
O enunciado define, para cada inteiro positivo
, o conjunto
e pede para verificar se a sequência
está em progressão aritmética (PA) ou progressão geométrica (PG) e, em caso afirmativo, qual a razão.
está em progressão aritmética (PA) ou progressão geométrica (PG) e, em caso afirmativo, qual a razão.
Passo 2
Vamos usar que
é exatamente a função totiente de Euler
. Em particular, se
com
primo, vale
Passo 3
Como
é primo e nossos
são potências de
, temos para
:
Logo
Passo 4
Testando se esses valores formam uma PA, calculamos as diferenças:
Como não são todas iguais, não é progressão aritmética.
Passo 5
Testando se formam uma PG, calculamos as razões:
As razões são todas iguais a
, logo é progressão geométrica de razão
.
Resposta
A sequência é uma progressão geométrica de razão
.