(Fuvest-SP) A soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., de razão negativa, é
. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da P. G. é igual a 3. Nessas condições, determine:
a) A razão da P.G.
b) A soma dos três primeiros termos da P.G.
a) A razão da P.G.
b) A soma dos três primeiros termos da P.G.
Passo 1
O enunciado fala de uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo
e razão negativa
. Ele nos dá duas condições:
- A soma dos cinco primeiros termos é
. - A diferença entre o sétimo termo e o segundo termo é
.
Para resolver vamos usar a fórmula da soma dosprimeiros termos de uma P.G. e a expressão geral do -ésimo termo.
Passo 2
Chamando o primeiro termo de
e a razão de
, sabemos que:
e que o
-ésimo termo é
. Logo
Passo 3
Observe que
. Então a segunda condição fica
Substituindo em
, ou seja
temos
Passo 4
A equação
é equivalente a
As raízes são
Como a razão é negativa, ficamos com
Passo 5
Para achar
, voltamos a
Como
tem
,
e
Passo 6
A soma dos três primeiros termos é
Com
vem
e
, além de
. Logo
Resposta
a)
b)
b)