(Fuvest-SP) A soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., de razão negativa, é 12. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da P. G. é igual a 3. Nessas condições, determine:
a) A razão da P.G.
b) A soma dos três primeiros termos da P.G.

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica (P.G.) de primeiro termo a e razão negativa r. Ele nos dá duas condições:
  1. A soma dos cinco primeiros termos é tfrac12.
  2. A diferença entre o sétimo termo e o segundo termo é 3.
    Para resolver vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G. e a expressão geral do k-ésimo termo.

Passo 2

Chamando o primeiro termo de a e a razão de r, sabemos que:
S5 = a1 - r^51 - r = tfrac12
e que o k-ésimo termo é tk = a,r^,k-1. Logo
t7 - t2 = a,r^6 - a,r = a,rl(r^5 - 1r) = 3

Passo 3

Observe que r^5-1 = -l(1 - r^5r). Então a segunda condição fica
a,rl(-l(1 - r^5r)r) = 3 Longrightarrow -,a,r,(1 - r^5) = 3 Longrightarrow a,(1 - r^5) = -3r
Substituindo em S5 = tfrac12, ou seja
a,1 - r^51 - r = tfrac12,
temos
-tfrac3r1 - r = tfrac12 Longrightarrow -,3r(1 - r) = tfrac12 Longrightarrow r(1 - r) = -6

Passo 4

A equação r(1 - r) = -6 é equivalente a
r - r^2 = -6 Longrightarrow r^2 - r - 6 = 0
As raízes são
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52 ;Longrightarrow; r = 3 ou r = -2
Como a razão é negativa, ficamos com
r = -2

Passo 5

Para achar a, voltamos a
a,(1 - r^5) = -3r
Como r=-2 tem r^5=-32, 1 - r^5 = 33 e
a cdot 33 = -3-2 = tfrac32 Longrightarrow a = 32cdot 33 = 122

Passo 6

A soma dos três primeiros termos é
S3 = a,1 - r^31 - r
Com r=-2 vem r^3=-8 e 1 - r^3 = 9, além de 1 - r = 3. Logo
S3 = 122,93 = 322

Resposta

a) r = -2
b) S3 = tfrac322

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