(UE-RJ) Os anos do calendário chinês, um dos mais antigos que a história registra, começam sempre em uma lua nova, entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro do calendário gregoriano. Eles recebem nomes de animais, que se repetem em ciclos de doze anos. A tabela abaixo apresenta o ciclo mais recente desse calendário.

Ano do calendário chinês

Início no calendário gregoriano Nome
31 - janeiro - 1995 Porco
19 - fevereiro - 1996 Rato
08 - fevereiro - 1997 Boi
28 - janeiro - 1998 Tigre
16 - fevereiro - 1999 Coelho
05 - fevereiro - 2000 Dragão
Início no calendário gregoriano Nome
24 - janeiro - 2001 Serpente
12 - fevereiro - 2002 Cavalo
01 - fevereiro - 2003 Cabra
22 - janeiro - 2004 Macaco
09 - fevereiro - 2005 Galo
29 - janeiro - 2006 Cão
Admita que, pelo calendário gregoriano, uma determinada cidade chinesa tenha sido fundada em 21 de junho de 1089 d.C., ano da serpente no calendário chinês. Desde então, a cada 15 anos, seus habitantes promovem uma grande festa de comemoração. Portanto, houve festa em 1104, 1119, 1134, e assim por diante.
Determine, no calendário gregoriano, o ano do século XXI em que a fundação dessa cidade será comemorada novamente no ano da serpente.

Passo 1

O enunciado diz que a cidade foi fundada em 21 de junho de 1089, data que cai no ano da serpente no calendário chinês. A cada 15 anos há uma festa de comemoração, ou seja, nos anos
1089,;1104,;1119,;1134,dots
Queremos achar, no século XXI (anos gregorianos de 2001 a 2100), um desses anos de festa que seja também ano da serpente, lembrando que os anos da serpente se repetem em ciclos de 12 anos.

Passo 2

Chamemos de k o número de festas contadas a partir de 1089 e de m o número de ciclos de 12 anos da serpente a partir de 1089.
  • O ano da k-ésima festa é
1089 + 15k
  • O início de um ano da serpente ocorre em
1089 + 12m
Para que coincidam, precisamos
1089 + 15k = 1089 + 12m Longrightarrow 15k = 12m

Passo 3

Da equação 15k = 12m dividimos por 3 e obtemos
5k = 4m
Isto tem solução inteira geral
k = 4t, m = 5t,
para tinZ. Assim o ano em que a festa cai em ano da serpente é
1089 + 15k ;=;1089 + 15,(4t) ;=; 1089 + 60t

Passo 4

Queremos 2001 <= 1089 + 60t <= 2100.
  • Inferindo 1089 + 60t >= 2001 60t >= 912 e t>= 15,2, logo t>=16.
  • Inferindo 1089 + 60t <= 2100 60t <= 1011 e t<=16,85, logo t<=16.
    Só vale t=16, produzindo
1089 + 60cdot16 = 1089 + 960 = 2049

Resposta

2049

Exercícios de Livros Relacionados