(Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da sequência (1, raiz3, raiz3^2, raiz3^3, raiz3^4 ldots raiz3^n-1) seja 3^14, deverão ser considerados, nessa sequência:
a) 8 termos.
b) 6 termos.
c) 10 termos.
d) 9 termos.
e) 7 termos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são
1, raiz3, l(raiz3r)^2, l(raiz3r)^3, dots, l(raiz3r)^n-1
e pede quantos termos (ou seja, qual n) devemos multiplicar para que o produto valha 3^14. Vamos usar propriedades de potências e a soma dos termos de uma progressão aritmética para somar os expoentes.

Passo 2

Cada termo l(raiz3r)^k pode ser escrito como
l(raiz3r)^k = l(3^1/2r)^k = 3^k/2
O produto dos n primeiros termos (para k=0,1,2,dots,n-1) é
P = prodk=0^n-13^k/2 = 3^sumk=0^n-1(k/2) = 3^tfrac12sumk=0^n-1k = 3^tfrac12cdotn(n-1)2 = 3^n(n-1)4
Queremos P=3^14, logo igualamos os expoentes:
n(n-1)4 = 14 Longrightarrow n(n-1) = 56 Longrightarrow n^2 - n - 56 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos a solução positiva n=8.

Resposta

8 termos.

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