(UF-PI) Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo ABC . Considere a função f: R R dada por f(x)=b^2 x^2+ +(b^2++c^2-a^2) x+c^2.
Analise as afirmativas abaixo e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
a) ( ) f(-1)<0
b) ( ) f possui raízes reais.
c) ( ) O valor mínimo de f é menor ou igual a c^2.
d) ( ) f(x)>0, para todo número real x.

Passo 1

O enunciado dá as medidas a,b,c>0 de um triângulo e define a função
f(x)=b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2
Vamos usar: (i) cálculo direto de f(-1); (ii) discriminante para existência de raízes; (iii) fórmula do vértice para o valor mínimo; (iv) sinal de f a partir do discriminante e do coeficiente quadrático.

Passo 2

Para x=-1 temos
f(-1)=b^2cdot(-1)^2+(b^2+c^2-a^2)(-1)+c^2 =b^2-b^2-c^2+a^2+c^2=a^2>0
Logo a afirmação a) ,f(-1)<0 é falsa.

Passo 3

O discriminante de f é
De<a=(b^2+c^2-a^2)^2-4,b^2c^2
Pela lei dos cossenos b^2+c^2-a^2=2bccos A, vem
De<a=4b^2c^2(cos^2A-1)=-4b^2c^2sin^2A<0
Como De<a<0, f não tem raízes reais, tornando a afirmação b) falsa.

Passo 4

O valor mínimo de f ocorre no vértice x0=-(b^2+c^2-a^2)/(2b^2). Usando a fórmula
fmin=-De<a4b^2 =4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^24b^2 =c^2sin^2A,
vemos que 0<c^2sin^2A<= c^2. Logo o valor mínimo de f é menor ou igual a c^2, e a afirmação c) é verdadeira.

Passo 5

Como De<a<0 e o coeficiente de x^2 é b^2>0, a parábola está sempre acima do eixo x. Portanto f(x)>0 para todo xinR, ou seja, d) é verdadeira.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) V

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