(ITA-SP) Sejam x, y in R e w =x^2(1+3 i)+y^2(4-i)-x(2+6 i)+y(-16+4 i) in C. Identifique e esboce o conjunto Omega=(x, y) in R^2; Re w <=-13 e Im w <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e esboçarmos o conjunto
Omega=(x,y)inR^2;Re(w)<=-13 e Im(w)<=4,
onde
w=x^2(1+3i)+y^2(4-i)-x(2+6i)+y(-16+4i)
O conteúdo aqui é geometria analítica de seções cônicas: vamos extrair duas desigualdades em x,y e reconhecer nelas uma elipse e uma hipérbole.

Passo 2

Calcular separadamente a parte real e imaginária de w.
Re(w)=x^2+4y^2-2x-16y
Im(w)=3x^2 - y^2 -6x +4y

Passo 3

Completar o quadrado em Re(w).
Para x:
x^2-2x=(x-1)^2-1,
para y:
4y^2-16y=4l(y^2-4yr)=4l((y-2)^2-4r)=4(y-2)^2-16
Logo
Re(w)=(x-1)^2+4(y-2)^2-17
A condição Re(w)<=-13 vira
(x-1)^2+4(y-2)^2-17<=-13 Longrightarrow (x-1)^2+4(y-2)^2<=4
ou seja
(x-1)^24+(y-2)^2<=1,
que é uma elipse centrada em (1,2) com semi-eixos a=2 (horizontal) e b=1 (vertical).

Passo 4

Completar o quadrado em Im(w).
Para x:
3x^2-6x=3l(x^2-2xr)=3l((x-1)^2-1r)=3(x-1)^2-3,
para y:
-,y^2+4y=-l(y^2-4yr)=-l((y-2)^2-4r)=-(y-2)^2+4
Assim
Im(w)=3(x-1)^2-(y-2)^2+1
A condição Im(w)<=4
3(x-1)^2-(y-2)^2+1<=4 Longrightarrow 3(x-1)^2-(y-2)^2<=3
ou ainda
(x-1)^2-(y-2)^23<=1,
que define uma hipérbole centrada em (1,2), de ramos abertos horizontalmente, e tomamos a região interna a ela (entre os dois ramos).

Passo 5

O conjunto Omega é, portanto, a interseção da região interna (e fronteira) da elipse
(x-1)^24+(y-2)^2<=1
com a região interna (e fronteira) da hipérbole
(x-1)^2-(y-2)^23<=1
No esboço, ambas estão centradas em (1,2): a elipse é uma “oval” e a hipérbole tem ramos horizontais, e Omega fica dentro da elipse e também no “miolo” da hipérbole.

Resposta

Omega =l(x,y)inR^2: (x-1)^24+(y-2)^2<=1 e (x-1)^2-(y-2)^23<=1 r
Esboço: elipse de centro (1,2), semi-eixos 2 e 1, intersectada com a região entre os ramos da hipérbole de equação (x-1)^2-(y-2)^23=1.

Exercícios de Livros Relacionados