(ITA-SP) Sejam
e w
. Identifique e esboce o conjunto
; Re w
e Im w
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos e esboçarmos o conjunto
,
onde
onde
O conteúdo aqui é geometria analítica de seções cônicas: vamos extrair duas desigualdades em
e reconhecer nelas uma elipse e uma hipérbole.
Passo 2
Calcular separadamente a parte real e imaginária de
.
Passo 3
Completar o quadrado em
.
Para :
Para
para
:
Logo
A condição
vira
ou seja
que é uma elipse centrada em
com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Passo 4
Completar o quadrado em
.
Para :
Para
para
:
Assim
A condição
dá
ou ainda
que define uma hipérbole centrada em
, de ramos abertos horizontalmente, e tomamos a região interna a ela (entre os dois ramos).
Passo 5
O conjunto
é, portanto, a interseção da região interna (e fronteira) da elipse
com a região interna (e fronteira) da hipérbole
No esboço, ambas estão centradas em
: a elipse é uma “oval” e a hipérbole tem ramos horizontais, e
fica dentro da elipse e também no “miolo” da hipérbole.
Resposta
Esboço: elipse de centro
, semi-eixos
e
, intersectada com a região entre os ramos da hipérbole de equação
.