(Fatec-SP) A solução da equação |z|+z=2+i é um número complexo cujo módulo é:
a) 54
b) raiz5
c) 1
d) raiz55
e) 52

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação lvert zrvert + z = 2 + i e, em seguida, encontrar o módulo de z. O conteúdo aqui é manipular números complexos escrevendo z como x+iy e separar em parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo
z = x + i y, lvert zrvert = raizx^2 + y^2,
a equação vira
raizx^2 + y^2 + x + i,y = 2 + i
Agora igualamos as partes real e imaginária.

Passo 3

Da parte imaginária temos
y = 1

Passo 4

Da parte real vem
raizx^2 + y^2 + x = 2
Substituindo y=1 obtemos
raizx^2 + 1 = 2 - x

Passo 5

Como raizx^2+1>=0, exigimos 2 - x>=0, ou seja x<=2. Elevando ao quadrado:
x^2 + 1 = (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
e daí
1 = 4 - 4x ;Longrightarrow; 4x = 3 ;Longrightarrow; x = 34

Passo 6

Finalmente, o módulo de z é
lvert zrvert = raizl(tfrac34r)^2 + 1 = raiz916 + 1616 = raiz2516 = 54

Resposta

a) 54

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