(ITA-SP) Sejam z=n^2(cos 45^circ+ isen 45^circ) e w=n(cos 15^circ+ isen 15^circ), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1+i)^n é real. Então, zw é igual a:
a) raiz3+i
b) 2(raiz3+i)
c) 2(raiz2+i)
d) 2(raiz2-i)

Passo 1

O enunciado define
z = n^2l(cos45^circ + isin45^circr), w = nl(cos15^circ + isin15^circr),
onde n é o menor inteiro positivo tal que (1+i)^n é real. O conteúdo usado será forma trigonométrica de números complexos e a condição para que uma potência seja real.

Passo 2

Escrevemos
1+i = raiz2,e^ipi/4
Logo
(1+i)^n = (raiz2)^n,e^i npi/4
Para que isso seja real, precisamos de
npi/4 = kpi, kinZ,
ou seja n=4k. O menor inteiro positivo é n=4.

Passo 3

Com n=4, temos em forma exponencial
z = n^2,e^ipi/4 = 16,e^ipi/4, w = n,e^ipi/12 = 4,e^ipi/12
Portanto
zw = 16,e^ipi/44,e^ipi/12 =4,e^i(pi/4-pi/12) =4,e^ipi/6

Passo 4

Usando e^ipi/6=cos30^circ + isin30^circ=raiz32+i2, vem
zw =4l(tfracraiz32+tfraci2r) =2raiz3+2i =2(raiz3+i),
que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 2(raiz3+i)

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