(PUC-SP) Seja
, em que
e
é a unidade imaginária, a expressão da soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética. Se
é o enésimo termo dessa progressão aritmética, então a forma trigonométrica da diferença
é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a soma dos
primeiros termos de uma PA complexa:
e pede a diferença
em forma trigonométrica. Para isso precisamos lembrar que, em qualquer PA (mesmo com termos complexos), vale
onde
é o primeiro termo e
a razão.
Passo 2
Igualamos as duas expressões de
:
Como
, dividimos por
:
Isto deve valer para todo
, então comparamos coeficientes de
e termo constante:
coeficiente de
:
termo constante:
Passo 3
A fórmula geral do termo é
Logo
e
Passo 4
Agora escrevemos
em forma trigonométrica. O módulo é
e o argumento
satisfaz
Portanto
Passo 5
Nenhuma das alternativas apresentadas coincide com
.
Resposta
A forma trigonométrica correta é
e não há alternativa exata entre as dadas.