(PUC-SP) Seja Sn=n cdot(n-1)2+n cdot(3-n) cdot i2, em que n in N^* e i é a unidade imaginária, a expressão da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Se an é o enésimo termo dessa progressão aritmética, então a forma trigonométrica da diferença a15-a16 é:
a) 2 raiz2(cos 3 pi4+i cdot sen 3 pi4)
b) 2 raiz2(cos 5 pi4+i cdot sen 5 pi4)
c) 2 raiz2(cos 7 pi4+i cdot sen 7 pi4)
d) raiz2(cos 5 pi4+i cdot sen 5 pi4)

Passo 1

O enunciado dá a soma dos n primeiros termos de uma PA complexa:
Sn = n(n-1)2 ;+;n(3-n)i2,
e pede a diferença a15-a16 em forma trigonométrica. Para isso precisamos lembrar que, em qualquer PA (mesmo com termos complexos), vale
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr),
onde a1 é o primeiro termo e d a razão.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de Sn:
n2l(2a1 + (n-1)dr) = n(n-1)2 + n(3-n)i2
Como nneq0, dividimos por tfracn2:
2a1 + (n-1)d ;=; (n-1) + (3-n),i
Isto deve valer para todo n, então comparamos coeficientes de n e termo constante:
coeficiente de n:
d = 1 - i,
termo constante:
2a1 - d = -1 + 3i ;Longrightarrow; 2a1 = d +(-1+3i) = (1-i)+(-1+3i)=2i ;Longrightarrow; a1=i

Passo 3

A fórmula geral do termo é
an = a1 + (n-1)d = i + (n-1)(1 - i) = (n-1) ;+; i,(2-n)
Logo
a15 = 14 - 13,i, a16 = 15 - 14,i,
e
a15-a16 = (14-15) + (-13+14),i = -1 + i

Passo 4

Agora escrevemos -1 + i em forma trigonométrica. O módulo é
r = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento theta satisfaz
costheta = -1raiz2, sintheta = 1raiz2 ;Longrightarrow; theta = 3pi4
Portanto
a15-a16 = raiz2l(cos3pi4 + i,sen3pi4r)

Passo 5

Nenhuma das alternativas apresentadas coincide com raiz2(cos3pi4+isen3pi4).

Resposta

A forma trigonométrica correta é
raiz2l(costfrac3pi4 + i,sentfrac3pi4r),
e não há alternativa exata entre as dadas.

Exercícios de Livros Relacionados