(UF-ES) Sob um segmento de reta AB é construído um quadrado ABCD. A partir do ponto médio E do lado DA do quadrado ABCD , o segmento de reta EA é prolongado em linha reta até o ponto F, de modo que os segmentos EF e EB sejam congruentes e o ponto A esteja entre os pontos E e F. Utilizando-se o segmento
AF, é construído o quadrado AFGH, tendo o ponto H no segmento de reta AB . O lado GH do quadrado AFGH é, então, prolongado em linha reta até o ponto I no lado CD do quadrado ABCD.
a) Faça um esboço da figura descrita acima.
b) Determine o valor numérico da razão entre as áreas do quadrado AFGH e do retângulo HBCl .
c) Determine o valor numérico da razão entre os comprimentos dos segmentos AH e AB .

Passo 1

O enunciado pede:
  • a) um esboço da figura em que em construímos o quadrado para baixo, marcamos o ponto médio de , estendemos até com , depois construímos o quadrado de modo que fique em e prolongamos até cortar em .
  • b) a razão entre as áreas do quadrado e do retângulo .
  • c) a razão entre os comprimentos e .
Conteúdo envolvido: geometria analítica (posição de pontos e cálculo de distâncias), propriedades de quadrados e áreas.

Passo 2

Esboço coordenado (ajuda a visualizar):
– Colocamos A=(0,0), B=(1,0) na horizontal com
C=(1,-1), D=(0,-1)
– O quadrado se estende para baixo, então
– Marcamos ponto médio de e traçamos o quadrado à direita de .
– Prolongamos a reta (vertical) até encontrar em .

Passo 3

Calculando D=(0,-1),;A=(0,0)Longrightarrow E=l(0,-tfrac12r) e EB=raiz(1-0)^2+(0-(-tfrac12))^2=raiz52 :
Como
yF-(-tfrac12)=raiz52 Longrightarrow yF=raiz5-12
O comprimento
F=l(0,tfracraiz5-12r)
Estendendo (reta ) para com , temos
Logo

Passo 4

Construindo o quadrado H=A+(yF,0)=l(yF,0r), G=F+(yF,0)=l(yF,yFr) :
. Girando esse vetor no sentido horário obtém-se .
Note que , então está realmente em .

Passo 5

Prolongando I=l(yF,-1r) (reta vertical AHBCI=1-yF, AAFGH=AF^2=yF^2 ) até AAFGH AHBCI =yF^21-yF com yF=raiz5-12, ( ) obtemos
O retângulo tem largura e altura , logo
A razão é
e um cálculo direto mostra que isso vale .

Passo 6

Como AH=yF=raiz5-12, é o deslocamento horizontal de AHAB=raiz5-12 a ,
e , logo

Resposta

a) Esboço conforme descrito nos passos acima.
b)
c)

Exercícios de Livros Relacionados