(UF-ES) Sob um segmento de reta AB é construído um quadrado ABCD. A partir do ponto médio E do lado DA do quadrado ABCD , o segmento de reta EA é prolongado em linha reta até o ponto F, de modo que os segmentos EF e EB sejam congruentes e o ponto A esteja entre os pontos E e F. Utilizando-se o segmento
AF, é construído o quadrado AFGH, tendo o ponto H no segmento de reta AB . O lado GH do quadrado AFGH é, então, prolongado em linha reta até o ponto I no lado CD do quadrado ABCD.
a) Faça um esboço da figura descrita acima.
b) Determine o valor numérico da razão entre as áreas do quadrado AFGH e do retângulo HBCl .
c) Determine o valor numérico da razão entre os comprimentos dos segmentos AH e AB .

Passo 1

O enunciado pede:
  • a) um esboço da figura em que em AB construímos o quadrado ABCD para baixo, marcamos o ponto médio E de DA, estendemos EA até F com EF=EB, depois construímos o quadrado AFGH de modo que H fique em AB e prolongamos GH até cortar CD em I.
  • b) a razão entre as áreas do quadrado AFGH e do retângulo HBCI.
  • c) a razão entre os comprimentos AH e AB.
Conteúdo envolvido: geometria analítica (posição de pontos e cálculo de distâncias), propriedades de quadrados e áreas.

Passo 2

Esboço coordenado (ajuda a visualizar):
– Colocamos AB na horizontal com
A=(0,0), B=(1,0)
– O quadrado ABCD se estende para baixo, então
C=(1,-1), D=(0,-1)
– Marcamos E ponto médio de DA e traçamos o quadrado AFGH à direita de AF.
– Prolongamos a reta GH (vertical) até encontrar CD em I.

Passo 3

Calculando E e F:
Como
D=(0,-1),;A=(0,0)Longrightarrow E=l(0,-tfrac12r)
O comprimento
EB=raiz(1-0)^2+(0-(-tfrac12))^2=raiz52
Estendendo EA (reta x=0) para F=(0,yF) com EF=EB, temos
yF-(-tfrac12)=raiz52 Longrightarrow yF=raiz5-12
Logo
F=l(0,tfracraiz5-12r)

Passo 4

Construindo o quadrado AFGH:
AF=(0,yF). Girando esse vetor 90^circ no sentido horário obtém-se (yF,0).
H=A+(yF,0)=l(yF,0r), G=F+(yF,0)=l(yF,yFr)
Note que 0<yF<1, então H está realmente em AB.

Passo 5

Prolongando GH (reta vertical x=yF) até CD ( y=-1) obtemos
I=l(yF,-1r)
O retângulo HBCI tem largura HB=1-yF e altura 1, logo
AHBCI=1-yF, AAFGH=AF^2=yF^2
A razão é
AAFGH AHBCI =yF^21-yF com yF=raiz5-12,
e um cálculo direto mostra que isso vale 1.

Passo 6

Como AH é o deslocamento horizontal de A a H,
AH=yF=raiz5-12,
e AB=1, logo
AHAB=raiz5-12

Resposta

a) Esboço conforme descrito nos passos acima.
b) 1
c) raiz5-12

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