(UF-ES) Sob um segmento de reta AB é construído um quadrado ABCD. A partir do ponto médio E do lado DA do quadrado ABCD , o segmento de reta EA é prolongado em linha reta até o ponto F, de modo que os segmentos EF e EB sejam congruentes e o ponto A esteja entre os pontos E e F. Utilizando-se o segmento
AF, é construído o quadrado AFGH, tendo o ponto H no segmento de reta AB . O lado GH do quadrado AFGH é, então, prolongado em linha reta até o ponto I no lado CD do quadrado ABCD.
a) Faça um esboço da figura descrita acima.
b) Determine o valor numérico da razão entre as áreas do quadrado AFGH e do retângulo HBCl .
c) Determine o valor numérico da razão entre os comprimentos dos segmentos AH e AB .
Passo 1
O enunciado pede:
a) um esboço da figura em que em construímos o quadrado para baixo, marcamos o ponto médio de , estendemos até com , depois construímos o quadrado de modo que fique em e prolongamos até cortar em .
b) a razão entre as áreas do quadrado e do retângulo .
c) a razão entre os comprimentos e .
Conteúdo envolvido: geometria analítica (posição de pontos e cálculo de distâncias), propriedades de quadrados e áreas.
Passo 2
Esboço coordenado (ajuda a visualizar):
– Colocamos na horizontal com
– O quadrado se estende para baixo, então
– Marcamos ponto médio de e traçamos o quadrado à direita de .
– Prolongamos a reta (vertical) até encontrar em .
Passo 3
Calculando e :
Como
O comprimento
Estendendo (reta ) para com , temos
Logo
Passo 4
Construindo o quadrado : . Girando esse vetor 90^circ no sentido horário obtém-se (yF,0).
H=A+(yF,0)=l(yF,0r), G=F+(yF,0)=l(yF,yFr)
Note que 0<yF<1, então H está realmente em AB.
Passo 5
Prolongando GH (reta vertical x=yF) até CD (y=-1) obtemos
I=l(yF,-1r)
O retângulo HBCI tem largura HB=1-yF e altura 1, logo
AHBCI=1-yF, AAFGH=AF^2=yF^2
A razão é
AAFGH AHBCI =yF^21-yF com yF=raiz5-12,
e um cálculo direto mostra que isso vale 1.
Passo 6
Como AH é o deslocamento horizontal de A a H,
AH=yF=raiz5-12,
e AB=1, logo
AHAB=raiz5-12
Resposta
a) Esboço conforme descrito nos passos acima.
b) 1
c) raiz5-12
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 214