(ITA-78) Sejam a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & k \\\\ 2 & -1\end{array}\right], k é real, k \neq 1 / 2 e a
progressão geométrica a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} de razāo \mathrm{q}>0, \mathrm{a}_{\mathrm{i}}=\mathrm{q}^{1^{-1}} \cdot \operatorname{det} \mathrm{~A}, \mathrm{i}=1,2,3, \ldots, n. Se a_{3}=\operatorname{det} B, \operatorname{com} B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{k}{3} \\\\ 2 & -1\end{array}\right] e a soma dos 16 primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}, podemos dizer que:
a) k=1-3^{-k}
b) k é um número negativo
c) k=1+3^{-8}
d) k \geq 0
c) nda

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & k\\\ 2 & -1\end{pmatrix},
define uma PG de razão q>0 cujos termos são
a_i = q^{\,i-1}\det A,\quad i=1,2,\dots,n,
e impõe que a_3=\det B, com
B=\begin{pmatrix}\tfrac13 & \tfrac{k}{3}\\\ 2 & -1\end{pmatrix},
além de a soma dos 16 primeiros termos ser
S_{16}=\tfrac13+\tfrac{\sqrt3}{6}.
Queremos descobrir qual afirmação sobre k é verdadeira.

Passo 2

Calculemos primeiro
\det A = 1\cdot(-1)-2k = -(1+2k),
\det B = \tfrac13\cdot(-1)-2\cdot\tfrac{k}{3} = -\tfrac{1+2k}{3} = \tfrac{\det A}{3}.
Como a_3=q^2\det A e a_3=\det B=\det A/3, temos \det A\neq0 e
q^2 = \tfrac13,\quad\text{logo}\quad q = 3^{-\tfrac12}.

Passo 3

A soma dos 16 termos de uma PG é
S_{16} = \det A\;\frac{1-q^{16}}{1-q}.
Substituindo q=3^{-1/2}
1-q^{16} = 1-3^{-8}, \quad 1-q = 1-3^{-1/2} = \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3},
então
S_{16} = \det A\;\frac{1-3^{-8}}{(\sqrt3-1)/\sqrt3} = \det A\;\frac{\sqrt3\,(1-3^{-8})}{\sqrt3-1}.
Igualando ao valor dado,
\det A\;\frac{\sqrt3\,(1-3^{-8})}{\sqrt3-1} = \frac13 + \frac{\sqrt3}{6},
obtemos
\det A = \frac{\tfrac13 + \tfrac{\sqrt3}{6}}{\frac{\sqrt3\,(1-3^{-8})}{\sqrt3-1}} = \frac{\sqrt3+1}{6\sqrt3\,(1-3^{-8})},
que é positivo.

Passo 4

Como \det A=-(1+2k) e pelo passo anterior \det A>0, segue
-(1+2k)>0 \quad\Longrightarrow\quad 1+2k<0 \quad\Longrightarrow\quad k<-\tfrac12<0.
Portanto k é negativo.

Resposta

b) k é um número negativo.
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