(ITA-89) Sabendo-se que x e y sào reais, tais que x+y=\pi / 4, verifique se a matriz \left|\begin{array}{cc}2 \tan x & 1+\tan x \\\\ 1+\tan y & \tan y\end{array}\right| è ou nāo inversível:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
M = \begin{pmatrix} 2\,\tan x & 1+\tan x\\[6pt] 1+\tan y & \tan y \end{pmatrix}
é inversível, sabendo quex+y=\pi/4.
Conteúdo: cálculo de determinante e uso da identidade trigonométrica \tan(a - b)=\dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a\,\tan b} (ou diretamente \tan(\pi/4 - x)).]
Passo 2
Escrevemos o determinante de M:
\det M = (2\,\tan x)(\tan y)\;-\;(1+\tan x)\,(1+\tan y).
Expandindo,
\det M = 2\,\tan x\,\tan y \;-\;1 \;-\;\tan x \;-\;\tan y \;-\;\tan x\,\tan y = \tan x\,\tan y - \tan x - \tan y -1.
Passo 3
Como x+y=\pi/4, temos
\tan y = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}.
Substituindo em \det M, defina t=\tan x. Então
\tan y = \frac{1-t}{1+t}, \quad \tan x\,\tan y = t\;\frac{1-t}{1+t} = \frac{t - t^2}{1+t}.
Passo 4
Agora substituímos em \det M=\tan x\,\tan y - \tan x - \tan y -1:
\det M = \frac{t - t^2}{1+t} - t - \frac{1-t}{1+t} - 1.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 1+t:
\det M = \frac{t - t^2 - t(1+t) - (1-t) - (1+t)}{1+t} = \frac{t - t^2 - t - t^2 -1 + t -1 - t}{1+t} = \frac{-2(t^2+1)}{1+t}.
Passo 5
Observamos que para todo t=\tan x real, t^2+1>0 e 1+t\neq0 sempre que \tan x e \tan y estejam definidas. Logo
\det M = -2\,\frac{t^2+1}{1+t}\neq0.
Isso mostra que a matriz M tem determinante não nulo e, portanto, é inversível.
Resposta
A matriz é inversível para todo par (x,y) reais com x+y=\pi/4 (desde que \tan x e \tan y existam), pois seu determinante é
\det M = -2\,\frac{\tan^2 x +1}{1+\tan x}\neq0.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 59