(ITA-SP) Sejam as matrizes reais de ordem 2 A=[ll2+a & a 1 & 1] e B=[ll1 & 1 a & 2+a].
Então a soma dos elementos da diagonal principal de (AB)^-1 é igual a:
a) A+1.
b) 4(a+1).
c) 14(5+2 a+a^2)
d) 14(1+2 a+a^2)
e) 12(5+2 a+a^2)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
de ordem , e pede a soma dos elementos da diagonal principal de .
Para isso vamos usar:
– a fórmula do produto de matrizes ,
– a fórmula do determinante de uma matriz ,
– a fórmula da inversa de uma matriz , e
– a relação
válida para de ordem .

Passo 2

Vamos calcular . Chamando
temos
Logo
Substituindo e , obtemos

Passo 3

Agora calculamos a traço e o determinante de AB:
– A traço é
tr(AB) = (2 + a + a^2) + (3 + a) = 5 + 2a + a^2
– O determinante é
det(AB) = (2 + a + a^2)(3 + a) - (2 + 3a + a^2)(1 + a)
Se expandirmos,
(2 + a + a^2)(3 + a) = a^3 + 4a^2 + 5a + 6, (2 + 3a + a^2)(1 + a) = a^3 + 4a^2 + 5a + 2,
portanto
det(AB) = (a^3 + 4a^2 + 5a + 6) - (a^3 + 4a^2 + 5a + 2) = 4

Passo 4

Para qualquer matriz 2times2 M vale
trl(M^-1r) =tr(M)det(M)
Aplicando a M=AB,
trl((AB)^-1r) = 5 + 2a + a^24

Resposta

14l(5 + 2a + a^2r), corresponde à alternativa (c).

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