(ITA-SP) Considere as afirmações a seguir:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.
II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(M^2-M)=0, então existe matriz não nula X , de ordem n times 1, tal que MX=X.
III) A matriz [clcos theta & -sen theta tg thetasec theta & 1-2 sen^2 theta2] é inversível, forall theta neq pi2+k pi, k in Z.
Dessas, é (são) verdadeira(s):
a) Apenas II.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) Todas.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes quadradas de ordem n:
I) existência de matriz não nula N tal que MN=0 quando M é singular e não nula;
II) existência de vetor não nulo X tal que MX=X quando M é inversível e det(M^2-M)=0;
III) inversibilidade de uma matriz trigonométrica para thetaneq tfracpi2+kpi.
O conteúdo envolve espaços nulos de matrizes singulares, propriedades de determinante e identidades trigonométricas para simplificar e calcular determinante.

Passo 2

Analisando I: se M é quadrada, não nula e não inversível, então det M=0 e o núcleo de M é não trivial. Logo existe vetor vneq0 tal que
Mv=0
Basta construir N tendo v como uma de suas colunas (e zeros nas demais). Assim MN=0 e Nneq0. Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: como det(M^2-M)=0, a matriz M^2-M é singular, logo existe Xneq0 com
(M^2-M)X=0;Longrightarrow;M^2X=MX;Longrightarrow;M(MX-X)=0
Como M é inversível, multiplica-se por M^-1 para obter MX-X=0, ou seja MX=X. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: a matriz
costheta & -sentheta tgtheta/sectheta & 1-2sen^2theta2
para thetaneqtfracpi2+kpi está bem definida e, usando
tgtheta/sectheta=sintheta e 1-2sen^2theta2=costheta, torna-se
costheta & -sentheta sentheta & costheta ,
cujo determinante é cos^2theta+sen^2theta=1neq0. Logo é inversível e III é verdadeira.

Resposta

e) Todas.

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