(ITA-SP) Considere as afirmações a seguir:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.
II) Se
é uma matriz quadrada inversível de ordem
tal que
, então existe matriz não nula X , de ordem
, tal que
.
III) A matriz
é inversível,
.
Dessas, é (são) verdadeira(s):
a) Apenas II.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) Todas.
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.
II) Se
III) A matriz
a) Apenas II.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II e III.
e) Todas.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes quadradas de ordem
:
I) existência de matriz não nula tal que
quando
é singular e não nula;
II) existência de vetor não nulo tal que
quando
é inversível e
;
III) inversibilidade de uma matriz trigonométrica para .
O conteúdo envolve espaços nulos de matrizes singulares, propriedades de determinante e identidades trigonométricas para simplificar e calcular determinante.
I) existência de matriz não nula
II) existência de vetor não nulo
III) inversibilidade de uma matriz trigonométrica para
O conteúdo envolve espaços nulos de matrizes singulares, propriedades de determinante e identidades trigonométricas para simplificar e calcular determinante.
Passo 2
Analisando I: se
é quadrada, não nula e não inversível, então
e o núcleo de
é não trivial. Logo existe vetor
tal que
Basta construir
tendo
como uma de suas colunas (e zeros nas demais). Assim
e
. Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: como
, a matriz
é singular, logo existe
com
Como
é inversível, multiplica-se por
para obter
, ou seja
. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: a matriz
para
está bem definida e, usando
e
, torna-se
cujo determinante é
. Logo é inversível e III é verdadeira.
Resposta
e) Todas.