(PUC-MG) O Código de Trânsito de certo país adota o sistema de pontuação em carteira para os motoristas: são atribuídos 4 pontos quando se trata de infração leve, 5 pontos por infração grave e 7 pontos por infração gravíssima. Considere um motorista que, durante um ano, cometeu o mesmo número de infrações leves e graves, foi autuado p vezes por infrações gravíssimas e acumulou 57 pontos em sua carteira. Nessas condições, pode-se afirmar que valor de p é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3

Passo 1

O enunciado diz que infrações leves valem 4 pontos, graves 5 pontos e gravíssimas 7 pontos, e que o motorista cometeu o mesmo número x de leves e graves, além de p infrações gravíssimas, totalizando 57 pontos. Vamos formular uma equação diofantina linear e resolver para p.

Passo 2

Definimos o número de infrações leves por x, o mesmo número de graves também por x, e o número de gravíssimas por p. A pontuação total é
4x + 5x + 7p = 57

Passo 3

Somando os pontos de leves e graves, obtemos 4x + 5x = 9x. Assim, a equação simplificada é
9x + 7p = 57

Passo 4

Isolamos x:
9x = 57 - 7p
Para que x seja inteiro, 57 - 7p deve ser múltiplo de 9. Em módulo 9 temos
57 equiv 3 pmod9, 7p equiv 7p pmod9,
logo exigimos
7p equiv 3 pmod9
Como o inverso de 7 em Z9 é 4 (pois 7cdot4=28equiv1pmod9), multiplicamos por 4:
p equiv 4cdot3 equiv 12 equiv 3 pmod9

Passo 5

Dentre as alternativas, o único p pequeno que satisfaz pequiv3pmod9 é p=3. Verificando:
57 - 7cdot3 = 57 - 21 = 36, 36/9 = 4,
o que dá x=4 inteiro e não negativo.

Resposta

(c) 3

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