Uma matriz quadrada
é dita simétrica se
; e dita antissimétrica se
. Considere as seguintes afirmações:
I) A única matriz que é simétrica e antissimétrica é a matriz nula;
II) A soma finita de matrizes simétricas é uma matriz simétrica;
III) O determinante de uma matriz antissimétrica, de ordem ímpar, é nulo.
Após análise das afirmações acima, pode-se afirmar que:
a) Somente o item I é falso.
b) Os itens I e II são falsos.
c) Somente o item II é verdadeiro.
d) Os itens II e III são verdadeiros.
e) Todos os itens são verdadeiros.
I) A única matriz que é simétrica e antissimétrica é a matriz nula;
II) A soma finita de matrizes simétricas é uma matriz simétrica;
III) O determinante de uma matriz antissimétrica, de ordem ímpar, é nulo.
a) Somente o item I é falso.
b) Os itens I e II são falsos.
c) Somente o item II é verdadeiro.
d) Os itens II e III são verdadeiros.
e) Todos os itens são verdadeiros.
Passo 1
O enunciado define uma matriz quadrada
de ordem
como
– simétrica se ,
– antissimétrica se .
Precisamos verificar a veracidade de:
I) só a matriz nula é simultaneamente simétrica e antissimétrica;
II) soma finita de simétricas é simétrica;
III) determinante de antissimétrica de ordem ímpar é zero.
– simétrica se
– antissimétrica se
Precisamos verificar a veracidade de:
I) só a matriz nula é simultaneamente simétrica e antissimétrica;
II) soma finita de simétricas é simétrica;
III) determinante de antissimétrica de ordem ímpar é zero.
Passo 2
Para I, suponha que
seja simétrica e antissimétrica. Então
Igualando as duas expressões segue
Logo, a única que satisfaz ambas as condições é a matriz nula. I é verdadeira.
Passo 3
Para II, sejam
e
duas matrizes simétricas, ou seja
Então a soma
satisfaz
logo
é simétrica. Soma finita funciona igual por indução. II é verdadeira.
Passo 4
Para III, seja
antissimétrica de ordem ímpar
. Temos
Como
é ímpar,
, daí
III é verdadeira.
Resposta
e) Todos os itens são verdadeiros.