Uma matriz quadrada Mn times n^n é dita simétrica se M^t=M; e dita antissimétrica se M^t=-M. Considere as seguintes afirmações:
I) A única matriz que é simétrica e antissimétrica é a matriz nula;
II) A soma finita de matrizes simétricas é uma matriz simétrica;
III) O determinante de uma matriz antissimétrica, de ordem ímpar, é nulo.
Após análise das afirmações acima, pode-se afirmar que:
a) Somente o item I é falso.
b) Os itens I e II são falsos.
c) Somente o item II é verdadeiro.
d) Os itens II e III são verdadeiros.
e) Todos os itens são verdadeiros.

Passo 1

O enunciado define uma matriz quadrada M de ordem n como
– simétrica se ,M^t=M,
– antissimétrica se ,M^t=-M.
Precisamos verificar a veracidade de:
I) só a matriz nula é simultaneamente simétrica e antissimétrica;
II) soma finita de simétricas é simétrica;
III) determinante de antissimétrica de ordem ímpar é zero.

Passo 2

Para I, suponha que M seja simétrica e antissimétrica. Então
M^t=M e M^t=-M
Igualando as duas expressões segue
M=-M Longrightarrow 2M=0 Longrightarrow M=0
Logo, a única que satisfaz ambas as condições é a matriz nula. I é verdadeira.

Passo 3

Para II, sejam A e B duas matrizes simétricas, ou seja
A^t=A e B^t=B
Então a soma C=A+B satisfaz
C^t=(A+B)^t=A^t+B^t=A+B=C,
logo C é simétrica. Soma finita funciona igual por indução. II é verdadeira.

Passo 4

Para III, seja M antissimétrica de ordem ímpar n. Temos
det(M)=detl(M^tr) =det(-M)=(-1)^ndet(M)
Como n é ímpar, (-1)^n=-1, daí
det(M)=-det(M) Longrightarrow 2det(M)=0 Longrightarrow det(M)=0
III é verdadeira.

Resposta

e) Todos os itens são verdadeiros.

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