(ITA-72) Quais os valores de \alpha de modo que o sistema
\left\{\begin{array}{l} (\operatorname{sen} \alpha-1) x+2 y-(\operatorname{sen} \alpha) z=0 \\\ (3 \operatorname{sen} \alpha) y+4 z=0 \\\\ 3 x+(7 \operatorname{sen} \alpha)+6 z=0 \end{array}\right.
a) \alpha=n \pi, n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 . \ldots
b) \alpha=n \pi+\pi / 3, n=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots
c) \alpha=n \pi+\pi / 2, n=0, \pm \mathrm{I}, \pm 2, \pm 3, \ldots
d) não há valores de \alpha
e) nenhuma das respostas anteriores

Passo 1

O enunciado pede os valores de \alpha para os quais o sistema homogêneo
\begin{cases} (\sin\alpha -1)x + 2y - (\sin\alpha)z = 0,\\\\ 3\sin\alpha\,y + 4z = 0,\\\\ 3x + 7\sin\alpha\,y + 6z = 0 \end{cases}
admita solução não trivial.
Para que isso aconteça, precisamos que o determinante da matriz de coeficientes seja zero.

Passo 2

Escrevendo a matriz de coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} \sin\alpha - 1 & 2 & -\,\sin\alpha\\\\ 0 & 3\sin\alpha & 4\\\\ 3 & 7\sin\alpha & 6 \end{pmatrix}
devemos calcular \det(A) e impor \det(A)=0.

Passo 3

Expandindo por cofactores na segunda linha:
\det(A) =3\sin\alpha\cdot \begin{vmatrix} \sin\alpha-1 & -\sin\alpha\\\\ 3 & 6 \end{vmatrix} -4\cdot \begin{vmatrix} \sin\alpha-1 & 2\\\\ 3 & 7\sin\alpha \end{vmatrix}.
Os menores são
\begin{vmatrix} \sin\alpha-1 & -\sin\alpha\\\\ 3 & 6 \end{vmatrix} =6(\sin\alpha-1)+3\sin\alpha =9\sin\alpha-6,
\begin{vmatrix} \sin\alpha-1 & 2\\\\ 3 & 7\sin\alpha \end{vmatrix} =7\sin^2\alpha-7\sin\alpha-6.

Passo 4

Substituindo,
\det(A) =3\sin\alpha\,(9\sin\alpha-6) -4\,(7\sin^2\alpha-7\sin\alpha-6) =27\sin^2\alpha-18\sin\alpha -28\sin^2\alpha+28\sin\alpha+24,
\det(A)=-\sin^2\alpha+10\sin\alpha+24.
Impondo \det(A)=0
-\sin^2\alpha+10\sin\alpha+24=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2\alpha-10\sin\alpha-24=0
que tem raízes \sin\alpha=12 ou \sin\alpha=-2, impossíveis em \mathbb{R}.

Passo 5

Como não existem valores reais de \alpha que zerem o determinante, o sistema nunca perde posto e só tem a solução trivial para todo \alpha.

Resposta

d) não há valores de \alpha

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