(ITA-SP) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm . Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento CD, então a área do triângulo MND , em cm^2, é igual a:
a) raiz26
b) raiz28
c) raiz36
d) raiz38
e) raiz39

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular ABCD de aresta 1 cm e pede a área do triângulo MND, onde M e N são os pontos médios de AB e CD. Vamos usar coordenadas no espaço para posicionar o tetraedro, calcular as coordenadas de M e N, definir vetores no plano de MND e obter a área via produto vetorial (ou determinante 2times 2).

Passo 2

Posicionamos os vértices do tetraedro assim:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=l(tfrac12,tfracraiz32,0r), D=l(tfrac12,tfracraiz36,tfracraiz63r)
Essas coordenadas formam um tetraedro regular de aresta 1.

Passo 3

Calculamos os pontos médios:
M=A+B2=l(tfrac12,0,0r), N=C+D2=l(tfrac12,tfracraiz33,tfracraiz66r)

Passo 4

No plano x=tfrac12 ficam os vetores
MN=N-M=l(0,tfracraiz33,tfracraiz66r), MD=D-M=l(0,tfracraiz36,tfracraiz63r)

Passo 5

A área de MND é
Área=12l|MNtimesMDr| Á
Como os vetores só têm componentes em y e z, o módulo do produto vetorial reduz-se ao valor absoluto do determinante 2times 2:
l|MNtimesMDr| =l|tfracraiz33cdottfracraiz63-tfracraiz66cdottfracraiz36r|

Passo 6

Calculando o determinante:
tfracraiz33cdottfracraiz63=raiz189=3raiz29=raiz23, tfracraiz66cdottfracraiz36=raiz1836=3raiz236=raiz212,
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l|MNtimesMDr| =raiz23-raiz212 =4raiz2-raiz212 =3raiz212 =raiz24
Portanto
Área=12cdotraiz24=raiz28 Á

Resposta

raiz28 (alternativa b)

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