(ITA-SP) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes
A=(ccclog 13 x & log 13 x^2 & 1 0 & -log 3 x & 1) e B=(cc0 & log 13 x^2 1 & 0 -3 log 13 x & -4).
A soma de todos os valores de x para os quais (A B)=(A B)^t é igual a:
a) 253
b) 283
c) 323
d) 272
e) 252

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x>0 tais que a matriz 2times2
AB
é igual à sua transposta, isto é, é simétrica. Vamos usar propriedades de logaritmos (mudança de base), multiplicação de matrizes e a condição de simetria (entradas off-diagonais iguais).

Passo 2

Definimos
L = log3x
Como
logtfrac13x = ln xln(tfrac13) = -ln xln3 = -log3x = -L,
segue também
logtfrac13x^2 = 2logtfrac13x = -2L e -log3x = -L.

Passo 3

Em função de L, as matrizes ficam
A = -,L & -2L & 1 0 & -,L & 1 , B = 0 & -2L 1 & 0 3L & -4

Passo 4

Calculamos o produto AB (tamanho 2times2):
AB = (-L)cdot0 +(-2L)cdot1 +1cdot(3L) & (-L),(-2L)+(-2L)cdot0 +1cdot(-4) 0cdot0 +(-L)cdot1 +1cdot(3L) & 0cdot(-2L)+(-L)cdot0 +1cdot(-4) = L & 2L^2-4 2L& -4

Passo 5

Para AB ser simétrica, precisa valer
(AB)12 = (AB)21 Longrightarrow 2L^2-4 = 2L Longrightarrow 2L^2 -2L -4 = 0 Longrightarrow L^2 - L -2 = 0

Passo 6

A equação L^2 - L -2=0 tem soluções
L = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
isto é, L=2 ou L=-1. Como L=log3x, segue
x1 = 3^2 = 9, x2 = 3^-1 = tfrac13
A soma dos valores de x é
9 + tfrac13 = 27+13 = 283

Resposta

283

Exercícios de Livros Relacionados