(ITA-SP) Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são
e todos os outros termos são iguais a 1 . Sabe-se que
é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é
e a razão é 4 . Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 256.
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz
de ordem
em que
– os elementos da diagonal principal são
– os elementos da diagonal principal são
– todos os outros elementos são iguais a
.
Sabe-se que é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
.
Queremos determinar tal que
.
Sabe-se que
Queremos determinar
Passo 2
Para calcular
, fazemos a operação de linha
que não altera o determinante. Após isso, a primeira linha permanece
e, para
, a linha
passa a ter
– no primeiro elemento: ,
– no elemento da coluna :
,
– em todas as outras colunas: .
– no primeiro elemento:
– no elemento da coluna
– em todas as outras colunas:
Passo 3
O novo sistema é triangular no bloco inferior e apenas a primeira linha tem entrada não nula na primeira coluna. Logo, expandindo pela primeira coluna,
Como
e para
temos
, segue
Passo 4
Como
é PG com
e
, o produto dos
termos é
Em potências de
:
logo
Passo 5
Impondo
, obtemos
Descartamos
, ficando
.
Resposta
A matriz
deve ser de ordem
.