(ITA-SP) Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1,1+x1, 1+x2, ldots, 1+xn e todos os outros termos são iguais a 1 . Sabe-se que (x1, x2, ldots, xn) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 12 e a razão é 4 . Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 256.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz A de ordem m em que
– os elementos da diagonal principal são
u1=1, u2=1+x1,;u3=1+x2,;dots,;um=1+xm-1,
– todos os outros elementos são iguais a 1.
Sabe-se que l(x1,x2,dots,xm-1r) é uma progressão geométrica de primeiro termo a=tfrac12 e razão r=4.
Queremos determinar m tal que det A=256.

Passo 2

Para calcular det A, fazemos a operação de linha
Ri Ri - R1, i=2,3,dots,m,
que não altera o determinante. Após isso, a primeira linha permanece
l(u1,1,1,dots,1r) e, para i>=2, a linha i passa a ter
– no primeiro elemento: 1-1=0,
– no elemento da coluna i: (1+xi-1)-1 = xi-1,
– em todas as outras colunas: 1-1=0.

Passo 3

O novo sistema é triangular no bloco inferior e apenas a primeira linha tem entrada não nula na primeira coluna. Logo, expandindo pela primeira coluna,
det A = u1,prodi=2^ml(ui-1r)
Como u1=1 e para i>=2 temos ui-1=xi-1, segue
det A = prodk=1^m-1 xk

Passo 4

Como xk é PG com x1=tfrac12 e r=4, o produto dos m-1 termos é
prodk=1^m-1xk = l(x1r)^,m-1;r^(m-1)(m-2)2 = l(tfrac12r)^m-1;4^(m-1)(m-2)2
Em potências de 2:
l(tfrac12r)^m-1=2^-(m-1), 4^(m-1)(m-2)2=2^(m-1)(m-2),
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det A =2^-(m-1)+(m-1)(m-2)=2^(m-1)(m-2)- (m-1)=2^(m-1)(m-3)

Passo 5

Impondo det A=256=2^8, obtemos
(m-1)(m-3)=8 ;Longrightarrow; m^2-4m+3-8=0 ;Longrightarrow; m^2-4m-5=0 ;Longrightarrow; m=5 ou m=-1
Descartamos m=-1, ficando m=5.

Resposta

A matriz A deve ser de ordem 5.

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