(ITA-SP) Sejam A, B
. Mostre as propriedades abaixo:
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo
, então A é a matriz nula.
b) Se
e
são não nulas e tais que
é a matriz nula, então det
.
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo
b) Se
Passo 1
O enunciado trata de matrizes reais
. Na parte (a) vamos usar a ideia de “coluna fundamental” da multiplicação de matrizes: para cada vetor canônico
,
é a
-ésima coluna de
. Na parte (b) usamos propriedades de determinante e de matrizes invertíveis: se
então
é invertível.
Passo 2
(a) Seja
e suponha
para todo
. Em particular, tome
(o
-ésimo vetor canônico). Então
mas
é exatamente a coluna
de
. Como isso vale para
, todas as colunas de
são zero. Logo
.
Passo 3
(b) Suponha, por absurdo, que
. Então
é invertível e existe
. Multiplicando a igualdade
à esquerda por
obtemos
contradição com
. Portanto
.
Passo 4
De modo análogo, suponha que
. Então
é invertível e multiplicando
à direita por
dá
contradição com
. Logo
.
Resposta
(a)
.
(b) e
.
(b)