(ITA-SP) Sejam A, B in M3 times 3(R). Mostre as propriedades abaixo:
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X in M3 times 1(R), então A é a matriz nula.
b) Se A e B são não nulas e tais que A B é a matriz nula, então det A=det B=0.

Passo 1

O enunciado trata de matrizes reais 3times3. Na parte (a) vamos usar a ideia de “coluna fundamental” da multiplicação de matrizes: para cada vetor canônico ej, Aej é a j-ésima coluna de A. Na parte (b) usamos propriedades de determinante e de matrizes invertíveis: se det Aneq0 então A é invertível.

Passo 2

(a) Seja A=(aij)in M3times3( R) e suponha AX=0 para todo Xin M3times1( R). Em particular, tome X=ej (o j-ésimo vetor canônico). Então
A ej = 0,
mas Aej é exatamente a coluna j de A. Como isso vale para j=1,2,3, todas as colunas de A são zero. Logo A=03times3.

Passo 3

(b) Suponha, por absurdo, que det Aneq0. Então A é invertível e existe A^-1. Multiplicando a igualdade AB=0 à esquerda por A^-1 obtemos
A^-1(AB) = (A^-1A)B implies IB = B implies B=0,
contradição com Bneq0. Portanto det A=0.

Passo 4

De modo análogo, suponha que det Bneq0. Então B é invertível e multiplicando AB=0 à direita por B^-1
(AB)B^-1 = A(BB^-1) implies A I = A implies A=0,
contradição com Aneq0. Logo det B=0.

Resposta

(a) A=03times3.
(b) det A=0 e det B=0.

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