(ITA-SP) O sistema
a) é possível, forall a, b, c in R.
b) é possível quando a=7 b3 ou c neq 1.
c) é impossível quando c=1, forall a, b in R.
d) é impossível quando a neq 7 b3, forall c in R.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetros a,b,c:
x + 2y + 3z = a, y + 2z = b, 3x - y - 5c,z = 0
O conteúdo é análise de consistência de sistemas via eliminação de Gauss.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x da terceira linha usando R3 R3 - 3R1:
Agora eliminamos y na terceira linha com R3 R3 +7R2, onde R2 é ,y+2z=b. Obtém-se
(5-5c),z ;=; 7b - 3a
Passo 4
Se 5-5cneq0 (isto é, cneq1), então z=7b-3a5(1-c) existe sempre, e daí y e x também. Logo para cneq1 o sistema é sempre possível.
Passo 5
Se c=1, então a equação em z vira 0cdot z = 7b-3a, exigindo 7b-3a=0, ou seja
a = 7b3,
para haver solução (infinitas, pois z fica livre).
Passo 6
Portanto o sistema é possível exatamente quando
cneq1 ou a=7b3,
o que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 299