(ITA-SP) O sistema rx+2 y+3 z=a y+2 z=b 3 x-y-5 c z=0
a) é possível, forall a, b, c in R.
b) é possível quando a=7 b3 ou c neq 1.
c) é impossível quando c=1, forall a, b in R.
d) é impossível quando a neq 7 b3, forall c in R.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetros a,b,c:
x + 2y + 3z = a, y + 2z = b, 3x - y - 5c,z = 0
O conteúdo é análise de consistência de sistemas via eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x da terceira linha usando R3 R3 - 3R1:
(ccc|c 1 & 2 & 3 & a 0 & 1 & 2 & b 3 & -1 & -5c & 0 ) ;xrightarrowR3-3R1; (ccc|c 1 & 2 & 3 & a 0 & 1 & 2 & b 0 & -7 & -5c-9 & -3a )

Passo 3

Agora eliminamos y na terceira linha com R3 R3 +7R2, onde R2 é ,y+2z=b. Obtém-se
(5-5c),z ;=; 7b - 3a

Passo 4

Se 5-5cneq0 (isto é, cneq1), então z=7b-3a5(1-c) existe sempre, e daí y e x também. Logo para cneq1 o sistema é sempre possível.

Passo 5

Se c=1, então a equação em z vira 0cdot z = 7b-3a, exigindo 7b-3a=0, ou seja
a = 7b3,
para haver solução (infinitas, pois z fica livre).

Passo 6

Portanto o sistema é possível exatamente quando
cneq1 ou a=7b3,
o que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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