(UF-CE) A progressão geométrica infinita (a1, a2, ldots, an, ldots) tem razão q=12 e a1=1. Determine o menor inteiro positivo n tal que Sn, a soma dos n primeiros termos da progressão, satisfaz a desigualdade Sn>81914096.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica de razão q=tfrac12 e primeiro termo a1=1. Pede-se o menor inteiro positivo n tal que a soma dos n primeiros termos,
Sn,
satisfaça
Sn > 81914096
O conteúdo necessário é a fórmula da soma finita de uma PG e manipulação de desigualdades exponenciais.

Passo 2

A soma dos n primeiros termos de uma PG é
Sn = a1,1-q^n1-q
Substituindo a1=1 e q=tfrac12,
Sn = 1 - l(tfrac12r)^n1 - tfrac12 = 2l(1 - 2^-nr) = 2 - 2^1-n

Passo 3

Impondo a desigualdade
2 - 2^1-n > 81914096,
observe que 2 = tfrac81924096. Logo,
81924096 - 2^1-n > 81914096 ;;Longrightarrow;; 14096 > 2^1-n

Passo 4

Como tfrac14096=2^-12, temos
2^-12 > 2^,1-n ;;Longrightarrow;; -12 > 1 - n ;;Longrightarrow;; n > 13
Portanto, o menor inteiro n que satisfaz a desigualdade é n=14.

Resposta

14

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