(ITA-04) O termo independente de \mathbf{x} no desenvolvimento do binỏmio \left(\sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{x}}{5 x}}-\sqrt[3]{\frac{5 x}{3 \sqrt{x}}}\right)^{12} é:
a) 729 \sqrt[3]{45}
b) 972 \sqrt[3]{15}
c) 891 \sqrt[3]{\frac{3}{5}}
d) 376 \sqrt[3]{\frac{5}{3}}
e) 165 \sqrt[3]{75}
Solução: Alternativa E
O termo geral de um binômio (a+b)^{n} é dado por T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
T_{k+1}=\binom{12}{k}\left(\sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{x}}{5 x}}\right)^{12-k}\left(-\sqrt[3]{\frac{5 x}{3 \sqrt{x}}}\right)^{k} \Rightarrow
T_{k+1}=\binom{12}{k}\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^{12-k}\left(-\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right)^{k}\left(x^{11 / 6-1 / 2}\right)^{12-k}\left(x^{1 / 3-1 / 6}\right)^{k} \Rightarrow
T_{k+1}=\binom{12}{k}\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^{12-k}\left(-\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right)^{k} x^{-\frac{1}{3}(12-k)+\frac{k}{6}}
Para obtermos o termo independente, temos que ter: -\frac{1}{3}(12-k)+\frac{1}{6} \cdot k=0 \Rightarrow k=8 Substituindo k=8, temos :
\mathrm{T}_{9}=\binom{12}{8}\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^{12-8}\left(-\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right)^{8} \Rightarrow \mathrm{~T}_{9}=\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{25}{9} \cdot\left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right)^{2} \Rightarrow
\mathrm{T}_{y}=495 \cdot \sqrt[3]{\frac{5^{2}}{3^{2}}} \Rightarrow \mathrm{~T}_{y}=495 \cdot \sqrt[3]{\frac{5^{2}}{3^{2}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} \Rightarrow \mathrm{~T}_{y}=495 \cdot \frac{\sqrt[3]{75}}{3} \Rightarrow \mathrm{~T}_{y}=165 \sqrt[3]{75}

Passo 1

O enunciado pede o termo independente de x em
\Bigl(\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}}\;-\;\sqrt[3]{\frac{5x}{3\sqrt{x}}}\Bigr)^{12}.
O conteúdo é expansão binomial, usando a fórmula do termo geral de (a+b)^n e ajustando expoentes de x para anular a potência.

Passo 2

Identificamos
a = \sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}} \quad\text{e}\quad b = -\sqrt[3]{\frac{5x}{3\sqrt{x}}}.
Reescrevendo cada um como constante vezes x a uma potência:
a = \sqrt{\frac{3}{5}}\;x^{\frac{1/3-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}}\;x^{-\tfrac{1}{3}},
b = -\Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{\!\tfrac{1}{3}}\;x^{\frac{1-1/2}{3}} = -\Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{\!\tfrac{1}{3}}\;x^{\tfrac{1}{6}}.

Passo 3

O termo geral é
T_{k+1} = \binom{12}{k}\,a^{\,12-k}\,b^{\,k} = \binom{12}{k}\,(-1)^k\, \Bigl(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Bigr)^{12-k} \Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\tfrac{k}{3}} \;x^{-\tfrac{12-k}{3}+\tfrac{k}{6}}.
Para o termo independente, o expoente de x deve ser zero:
-\frac{12-k}{3}+\frac{k}{6}=0 \quad\Longrightarrow\quad -4+\frac{k}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad k=8.

Passo 4

Substituindo k=8 em T_{k+1}:
T_{9} = \binom{12}{8}\,(-1)^8\, \Bigl(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Bigr)^{4} \Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\tfrac{8}{3}} = 495\;\frac{9}{25}\;\frac{25}{9}\; \Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\tfrac{2}{3}} =495\;\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Simplificando
495\;\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{\tfrac{2}{3}} =495\;\frac{5^{\tfrac{2}{3}}}{3^{\tfrac{2}{3}}} =\frac{495}{3}\;\frac{5^{\tfrac{2}{3}}}{3^{\tfrac{2}{3-1}}} =165\;\sqrt[3]{75}.

Resposta

A alternativa correta é a (e) 165 \sqrt[3]{75}.

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