(UFPE-00) Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de (3 x+5)^{13}.
  1. Existem exatamente dois termos com coeficientes que nào são divisiveis por 13 .
  2. A soma dos coeficientes é 2^{31}
  3. O maior coeficiente é 3^{7} \cdot 5^{8} \cdot 11.13
  4. O menor coeficiente é 3^{1.3}
  5. A soma dos coeficientes das potências de x com expoentes ímpares é 2^{3 \mathrm{k}}-2^{12} Solução: CCCCC
    I) CERTO. O termo geral de (3 x+5)^{13} é igual a:
T_{p+1}=\binom{13}{p}(3 x)^{13-p}(5)^{p}=3^{13-p} \cdot 5^{5}\binom{13}{p} x^{13-p}
fazendo com que os coeficientes sejam iguais a:
3^{13-p} \cdot 5^{p}\binom{13}{p}=3^{13-p} \cdot 5^{p} \frac{13!}{p!(13-p)!}=13\left(3^{13-p} \cdot 5^{p} \frac{12!}{p!(13-p)!}\right)
Desde que 13 é primo, cada coeficiente binomial nāo será divisivel por 13 se p! ou (13-p)! forem divisiveis por 13. Como 0 \leq p \leq 13. estes fatos ocorrem somente para p=13 ou p=0. Desta forma, existem exatamente dois termos ( T_{1} e T_{14} ) com cocficientes que não sảo divisíveis por 13.
2) CERTO. A soma dos coeficientes pode ser obtida fazendo x=1 : S=(3+5)^{13}=8^{13}=2^{34}.
3) CERTO. Seja C_{p+1}=3^{13-p} \cdot 5^{p}\binom{13}{p} a expressão geral dos coeficientes do termo geral T_{p+1}. Vamos resolver a inequação C_{p+1} \geq C_{p} :
3^{13-n} \cdot 5^{p}\binom{13}{p} \geq 3^{14-p} \cdot 5^{p-1}\binom{13}{p-1} \Rightarrow 5 \frac{13!}{p!(13-p)!} \geq 3 \frac{13!}{(p-1)!(14-p)!} \Rightarrow
5 \frac{13!}{p(p-1)!(13-p)!}-3 \frac{13!}{(p-1)!(14-p)(13-p)!} \geq 0 \Rightarrow
\frac{13!}{(p-1)!(13-p)!}\left[\frac{5}{p}-\frac{3}{14-p}\right] \geq 0 \Rightarrow \frac{13!}{(p-1)!(13-p)!} \frac{70-8 p}{p(14-p)} \geq 0 \Rightarrow
\frac{13!}{p!(14-p)!}(70-8 p) \geq 0
Como \frac{13!}{p!(14-p)!}>0 temos que 70-8 p \geq 0 \Rightarrow p \leq 8,75
Como p é natural, a última inequação é equivalente a p \leq 8. Assim, desde p =0 até p =8 podemos afirmar que C_{n+1} \geq C_{p}, implicando que o maior dos coeficientes ocorre para \mathrm{p}=8. Deste modo. seu valor é
C_{9}=3^{5} \cdot 5^{x} \frac{13!}{8!\cdot 5!}=3^{5} \cdot 5^{x} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=3^{5} \cdot 5^{x} \cdot 3^{2} \cdot 11 \cdot 13=3^{7} \cdot 5^{x} \cdot 11 \cdot 13
  1. CERTO. No item anterior demonstramos que de p=0 até p=8 os coeficientes binomiais aumentam. Analogamente, se resolvêssemos a inequação C_{p-1} \geq C_{p}, chegaríamos a solução p \geq 8,75, ou seja, p \geq 9. Assim, desde p=9 até p=13 teremos que os coeficientes binomiais decrescem. Desta maneira, os candidatos a menor coeficiente são os termos T_{1} e T_{14}. Como C_{1}=3^{13} e C_{14}=5^{13}, então o menor coeficiente é 3^{13}.
  2. CERTO. Observemos que:
(3 x+5)^{13}=C_{1} \cdot x^{13}+C_{2} \cdot x^{12}+C_{3} \cdot x^{11}+C_{4} \cdot x^{10}+\ldots+C_{13} \cdot x+C_{14}
Fazendo x=1 obtemos: \quad C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}+\ldots+C_{13}+C_{14}=2^{39}
Fazendo x=-1 obtemos: -C_{1}+C_{2}-C_{3}+C_{4}-\ldots-C_{13}+C_{14}=2^{13}
Subtraindo estas duas expressões:
2\left(C_{1}+C_{3}+\ldots+C_{13}\right)=2^{39}-2^{13} \Rightarrow C_{1}+C_{3}+\ldots+C_{13}=2^{38}-2^{12}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das cinco afirmações sobre a expansão binomial de (3x+5)^{13} são verdadeiras (C) ou falsas (E). O conteúdo necessário é o Teorema Binomial, além de noções de divisibilidade (primalidade de 13) e soma de coeficientes via x=1 e x=-1.

Passo 2

O termo geral de (3x+5)^{13} é
T_{p+1} \;=\;\binom{13}{p}(3x)^{13-p}5^p \;=\;\bigl[3^{13-p}5^p\binom{13}{p}\bigr]\,x^{13-p}\,,
logo o coeficiente associado a x^{13-p} é
C_{p+1}=3^{13-p}5^p\binom{13}{p},\quad p=0,1,\dots,13.

Passo 3

Afirmação 1: “Existem exatamente dois termos com coeficientes que não são divisíveis por 13.”
Pela fatoração
\binom{13}{p}=\frac{13}{p}\binom{12}{p-1}\quad\text{(quando \(1\le p\le12\))},
todo \binom{13}{p} tem fator 13, exceto \binom{13}{0}=1 e \binom{13}{13}=1. Assim somente em p=0 e em p=13 os coeficientes não contêm o fator 13.
Conclusão: Verdadeiro (C).

Passo 4

Afirmação 2: “A soma dos coeficientes é 2^{31}.”
A soma dos coeficientes de um polinômio binomial é obtida por x=1, ou seja
\sum_{k=0}^{13}C_{k+1}=(3+5)^{13}=8^{13}=2^{3\cdot13}=2^{39},
e não 2^{31}.
Conclusão: Falso (E).

Passo 5

Afirmação 3: “O maior coeficiente é 3^{7}\cdot5^{8}\cdot11\cdot13.”
Para achar o máximo de C_{p+1} compara-se C_{p+1}\ge C_p e encontra-se que a sequência de coeficientes cresce até p=8 e depois decresce. Logo o maior é
C_{9}=3^{13-8}5^{8}\binom{13}{8} =3^{5}5^{8}\,\frac{13!}{8!\,5!} =3^{5}5^{8}\,(9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13)/(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5) =3^{7}5^{8}\,11\cdot13.
Conclusão: Verdadeiro (C).

Passo 6

Afirmação 4: “O menor coeficiente é 3^{13}.”
Como vimos, a sequência cresce até p=8 e depois decresce, de modo que os extremos mínimos são
C_{1}=3^{13}\binom{13}{0}=3^{13}, \quad C_{14}=5^{13}\binom{13}{13}=5^{13}.
E 3^{13}<5^{13}, logo o menor é 3^{13}.
Conclusão: Verdadeiro (C).

Passo 7

Afirmação 5: “A soma dos coeficientes das potências de x com expoentes ímpares é 2^{3k}-2^{12}.”
A soma dos coeficientes com expoente ímpar é
\frac{(3+5)^{13} - ( -3+5)^{13}}{2} =\frac{8^{13}-2^{13}}2 =2^{38}-2^{12},
não a forma genérica 2^{3k}-2^{12} dada.
Conclusão: Falso (E).

Resposta

CECCE

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