(UFPE-00) Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de
.
- Existem exatamente dois termos com coeficientes que nào são divisiveis por 13 .
- A soma dos coeficientes é
- O maior coeficiente é
- O menor coeficiente é
- A soma dos coeficientes das potências de x com expoentes ímpares é
Solução: CCCCC
I) CERTO. O termo geral de
é igual a:
fazendo com que os coeficientes sejam iguais a:
Desde que 13 é primo, cada coeficiente binomial nāo será divisivel por 13 se p! ou (13-p)! forem divisiveis por 13. Como
. estes fatos ocorrem somente para
ou
. Desta forma, existem exatamente dois termos (
e
) com cocficientes que não sảo divisíveis por 13.
2) CERTO. A soma dos coeficientes pode ser obtida fazendo
:
.
3) CERTO. Seja
a expressão geral dos coeficientes do termo geral
. Vamos resolver a inequação
:
Como
temos que
Como p é natural, a última inequação é equivalente a p
. Assim, desde p
até p
podemos afirmar que
, implicando que o maior dos coeficientes ocorre para
. Deste modo. seu valor é
- CERTO. No item anterior demonstramos que de
até
os coeficientes binomiais aumentam. Analogamente, se resolvêssemos a inequação
, chegaríamos a solução
, ou seja,
. Assim, desde
até
teremos que os coeficientes binomiais decrescem. Desta maneira, os candidatos a menor coeficiente são os termos
e
. Como
e
, então o menor coeficiente é
.
- CERTO. Observemos que:
Fazendo
obtemos:
Fazendo
obtemos:
Subtraindo estas duas expressões:
I) CERTO. O termo geral de
2) CERTO. A soma dos coeficientes pode ser obtida fazendo
3) CERTO. Seja
Como
Como p é natural, a última inequação é equivalente a p
Fazendo
Subtraindo estas duas expressões:
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das cinco afirmações sobre a expansão binomial de
são verdadeiras (C) ou falsas (E). O conteúdo necessário é o Teorema Binomial, além de noções de divisibilidade (primalidade de 13) e soma de coeficientes via
e
.
Passo 2
O termo geral de
é
logo o coeficiente associado a
é
Passo 3
Afirmação 1: “Existem exatamente dois termos com coeficientes que não são divisíveis por 13.”
Pela fatoração
Pela fatoração
todo
tem fator 13, exceto
e
. Assim somente em
e em
os coeficientes não contêm o fator 13.
Conclusão: Verdadeiro (C).
Conclusão: Verdadeiro (C).
Passo 4
Afirmação 2: “A soma dos coeficientes é
.”
A soma dos coeficientes de um polinômio binomial é obtida por , ou seja
A soma dos coeficientes de um polinômio binomial é obtida por
e não
.
Conclusão: Falso (E).
Conclusão: Falso (E).
Passo 5
Afirmação 3: “O maior coeficiente é
.”
Para achar o máximo de compara-se
e encontra-se que a sequência de coeficientes cresce até
e depois decresce. Logo o maior é
Para achar o máximo de
Conclusão: Verdadeiro (C).
Passo 6
Afirmação 4: “O menor coeficiente é
.”
Como vimos, a sequência cresce até e depois decresce, de modo que os extremos mínimos são
Como vimos, a sequência cresce até
E
, logo o menor é
.
Conclusão: Verdadeiro (C).
Conclusão: Verdadeiro (C).
Passo 7
Afirmação 5: “A soma dos coeficientes das potências de
com expoentes ímpares é
.”
A soma dos coeficientes com expoente ímpar é
A soma dos coeficientes com expoente ímpar é
não a forma genérica
dada.
Conclusão: Falso (E).
Conclusão: Falso (E).
Resposta
CECCE