(ITA-SP) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm . Sabe-se ainda que é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo A B C intercepta a circunferência no ponto D. Se alpha é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e beta é a área comum aos dois, o valor de alpha-2 beta, em cm^2, é igual a
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio 5 cm, com AB diâmetro. Pelo Teorema de Tales, ang<= ACB=90^circ. Sabe-se também que BC=6 cm e a bissetriz de ang<= ABC encontra a circunferência novamente em D. Definimos alpha= área(ABC) +área(ABD) e beta= área comum a esses dois triângulos, e buscamos alpha-2beta.
Passo 2
Usando Pitágoras em ABC, com hipotenusa AB=2cdot5=10 e cateto BC=6,
AC=raizAB^2-BC^2=raiz10^2-6^2=raiz100-36=8
Passo 3
Para facilitar, colocamos B=(0,0), C=(6,0) (alongando BC no eixo x),
e como ang<= ACB=90^circ e AC=8, escolhemos A=(6,8).
A circunferência tem centro M, ponto médio de AB, ou seja M=(3,4), e raio 5.
Passo 4
A bissetriz de ang<= ABC divide o ângulo entre o eixo x e a reta BA ao meio. Como cos B=BC/AB=3/5, tem-se
tan B2 =raiz1-cos B1+cos B =raiz1-tfrac351+tfrac35 =tfrac12,
logo a reta bissetriz é ;y=tfrac12x.
Interseção com a circunferência
(x-3)^2+(y-4)^2=25, y=tfrac12x
dá x=0 (ponto B) e x=8. Assim
D=(8,4)
Passo 5
Área de ABC: base BC=6, altura de A até BC é 8,
área(ABC)=6cdot82=24 á
Área de ABD usando determinante de vértices B(0,0), A(6,8), D(8,4),
área(ABD) =12l|det0&0&16&8&18&4&1r| =12l|0+6cdot4+8cdot0-(6cdot0+8cdot8+0cdot4)r| =20 á
Logo alpha=24+20=44.
Passo 6
Para achar beta, notamos que os triângulos ABC e ABD se sobrepõem no triângulo ABE, onde E é interseção de AC (reta x=6) com BD (y=tfrac12x). Isso dá
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 54