(ITA-SP) Num triângulo ABC o lado AB mede 2 cm , a altura relativa ao lado AB mede 1 cm , o ângulo A B C mede 135^circ e M é o ponto médio de AB. Então a medida de B A ̂ C+B M C, em radianos, é igual a
a) 15 pi
b) 14 pi
c) 13 pi
d) 38 pi
e) 25 pi

Passo 1

Temos um triângulo ABC com AB=2, altura relativa a AB igual a 1, ang<= ABC=135^circ e M ponto médio de AB. Queremos
ang<= BAC + ang<= BMC
em radianos. Vamos colocar A e B em coordenadas para usar produto escalar (dot product) e achar C, depois calcular cada ângulo.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0), B=(2,0)
Como a distância de C à reta AB (eixo x) é 1, escrevemos
C=(x,1)
No vértice B, os vetores são
BA=A-B=(-2,0), BC=C-B=(x-2,1)
A condição ang<= ABC=135^circ
BAcdot BC =|BA|;|BC|cos135^circ
Isto é,
(-2),(x-2)+0cdot1 =2;raiz(x-2)^2+1;l(-raiz22r) ;Longrightarrow; -2(x-2)=-raiz2raiz(x-2)^2+1

Passo 3

Elevando ao quadrado,
4(x-2)^2 =2l((x-2)^2+1r) Longrightarrow (x-2)^2=1 Longrightarrow x-2=pm1
x=1ou x=3
Testando em BAcdotBC (antes do quadrado), só x=3 preserva o sinal negativo exigido pelo cosseno de 135^circ. Logo
C=(3,1)

Passo 4

Calculamos ang<= BAC no vértice A entre
AB=(2,0), AC=(3,1)
O cosseno vale
cosang<= BAC =ABcdot AC |AB|;|AC| =2cdot3+0cdot12;raiz3^2+1^2 =62raiz10 =3raiz10
Logo
ang<= BAC=arccos!l(3raiz10r)

Passo 5

O ponto médio é
M=l(tfrac0+22,0r)=(1,0)
No vértice M, os vetores são
MB=B-M=(1,0), MC=C-M=(2,1)
Assim
cosang<= BMC =MBcdotMC |MB|;|MC| =1cdot2+0cdot11;raiz2^2+1^2 =2raiz5,
ang<= BMC=arccos!l(2raiz5r)

Passo 6

Numericamente
ang<= BACapprox18,4349^circ, ang<= BMCapprox26,5651^circ,
portanto
ang<= BAC+ang<= BMCapprox45^circ =pi4

Resposta

pi4 (alternativa b) )

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