(OBM-2001) Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5 ?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) mais de 4
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) mais de 4
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de dois algarismos (isto é, de
até
) que não são primos e também não são múltiplos de
,
ou
.
Conteúdo: teoria dos números (divisibilidade e fatoração). Vamos usar que, se um número não é primo e não é divisível por ,
nem
, então todos os seus fatores primos devem ser maiores que
.
Conteúdo: teoria dos números (divisibilidade e fatoração). Vamos usar que, se um número não é primo e não é divisível por
Passo 2
Como o número não pode ser primo e não pode ter fator
,
ou
, suas únicas possibilidades de fatoração envolvem primos a partir de
. Logo, qualquer número que desejamos deve ser composto por pelo menos dois fatores primos
.
Passo 3
Listamos os produtos de primos
que caem no intervalo
. Tomando os menores primos:
O próximo,
, já excede
; e
. Não há outras combinações de primos
que gerem dois dígitos.
Passo 4
Os únicos números que satisfazem as condições são
, totalizando
casos.
Resposta
B) 3