(OBM-2001) Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5 ?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) mais de 4

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de dois algarismos (isto é, de 10 até 99) que não são primos e também não são múltiplos de 2, 3 ou 5.
Conteúdo: teoria dos números (divisibilidade e fatoração). Vamos usar que, se um número não é primo e não é divisível por 2, 3 nem 5, então todos os seus fatores primos devem ser maiores que 5.

Passo 2

Como o número não pode ser primo e não pode ter fator 2, 3 ou 5, suas únicas possibilidades de fatoração envolvem primos a partir de 7. Logo, qualquer número que desejamos deve ser composto por pelo menos dois fatores primos >=7.

Passo 3

Listamos os produtos de primos >=7 que caem no intervalo [10,99]. Tomando os menores primos:
7times7=49, 7times11=77, 7times13=91
O próximo, 7times17=119, já excede 99; e 11times11=121>99. Não há outras combinações de primos >=7 que gerem dois dígitos.

Passo 4

Os únicos números que satisfazem as condições são ,49,;77,;91, totalizando 3 casos.

Resposta

B) 3

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