Justifique as seguintes regras:
Ses =r, então 10^r cdot(m, a1 a2 ldots as)=m a1 a2 ldots as.

Passo 1

O enunciado diz que, se temos um número decimal finito com parte inteira m e parte decimal composta pelos dígitos a1a2ldots as, denotado por
(m,a1a2ldots as),
então, multiplicar esse número por 10^r com r=s “remove” a vírgula e transforma-o no inteiro cuja sequência de dígitos é m,a1a2ldots as. Vamos justificar isso usando a definição de representação decimal finita.

Passo 2

Pelo conceito de representação decimal finita, temos
(m,a1a2ldots as) = m +sumk=1^sak10^k

Passo 3

Agora multiplicamos ambos os lados por 10^s:
10^s,(m,a1a2ldots as) = 10^s,m + 10^ssumk=1^sak10^k Longrightarrow 10^s,(m,a1a2ldots as) = 10^sm +sumk=1^sak,10^,s-k

Passo 4

Observe que 10^sm é o inteiro obtido ao deslocar os dígitos de m para a esquerda em s casas (acrescentando s zeros à direita). Cada termo ak,10^,s-k posiciona o dígito ak exatamente na casa decimal s-k (contando da direita). Somando tudo, recuperamos o inteiro formado pela concatenação dos dígitos de m seguidos de a1a2ldots as. Em outras palavras,
10^sm+sumk=1^sak,10^,s-k = underbracem,a1a2ldots asnúmero inteiro ú

Passo 5

Portanto, quando r=s, a multiplicação por 10^r converte o decimal finito em seu inteiro “sem vírgula”, ou seja,
10^rcdot(m,a1a2ldots as) = m,a1a2ldots as

Resposta

A justificativa baseia-se em escrever o decimal finito como
(m,a1a2ldots as) = m+sumk=1^sak10^k,
multiplicar por 10^s e reconhecer que a soma resultante é exatamente o inteiro cujos dígitos são m,a1a2ldots as.

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