O enunciado diz que, se temos um número decimal finito com parte inteira e parte decimal composta pelos dígitos , denotado por
então, multiplicar esse número por com “remove” a vírgula e transforma-o no inteiro cuja sequência de dígitos é . Vamos justificar isso usando a definição de representação decimal finita.
Passo 2
Pelo conceito de representação decimal finita, temos
Passo 3
Agora multiplicamos ambos os lados por :
Passo 4
Observe que é o inteiro obtido ao deslocar os dígitos de para a esquerda em casas (acrescentando zeros à direita). Cada termo posiciona o dígito exatamente na casa decimal (contando da direita). Somando tudo, recuperamos o inteiro formado pela concatenação dos dígitos de seguidos de . Em outras palavras,
Passo 5
Portanto, quando r=s, a multiplicação por 10^r converte o decimal finito em seu inteiro “sem vírgula”, ou seja,
10^rcdot(m,a1a2ldots as) = m,a1a2ldots as
Resposta
A justificativa baseia-se em escrever o decimal finito como
(m,a1a2ldots as) = m+sumk=1^sak10^k,
multiplicar por 10^s e reconhecer que a soma resultante é exatamente o inteiro cujos dígitos são m,a1a2ldots as.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 413.c