Sejarn x=0, a1 a2 ldots ar ar+1 ar+2 ldots at e y=0, a1 a2 ldots ar br+1 br+2 ldots bt números racionais decimais. Se ar+1>br+1, prove que x>y.

Passo 1

Vamos interpretar x e y como somas de potências de 10^-1. Seja
u = 0a1a2cdots ar = sumk=1^r ak,10^-k
Então podemos escrever
x = u ;+; sumk=r+1^t ak,10^-k, y = u ;+; sumk=r+1^t bk,10^-k
O conteúdo aqui é comparar dois decimais que coincidem nos r primeiros dígitos e diferem no dígito de ordem r+1.

Passo 2

Subtraindo y de x, obtemos
x - y = sumk=r+1^t l(ak-bkr),10^-k = (ar+1-br+1),10^-(r+1) + sumk=r+2^t (ak-bk),10^-k

Passo 3

Como ar+1>br+1 são dígitos, ar+1-br+1>=1. Para a soma residual note que para todo k>= r+2 vale
-9 ;<=; ak-bk;<=9,
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sumk=r+2^t(ak-bk),10^-k ;>=; -9sumk=r+2^infty10^-k = -9cdot10^-(r+2)1-tfrac110 = -10^-(r+1)
Portanto
x-y ;>=; 1cdot10^-(r+1) ;+; l(-10^-(r+1)r) =0
Mas como ar+1-br+1>=1 e a parte residual é estritamente maior que -10^-(r+1) (pois a soma é finita), concluímos que na verdade
x - y > 0

Passo 4

Como x-y>0, segue que
x > y

Resposta

x>y.

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