Justifique as seguintes regras:
Ses >r, então 10^r cdot(m, a1 a2 ldots a3)=m a1 a2 ldots ar, ar+1 ar+2 ldots as.

Passo 1

O enunciado considera um número decimal com parte inteira m e s dígitos após a vírgula, que escrevemos como
(m,a1a2dots as)
Queremos mostrar que, se s>r, então
10^r,cdot,(m,a1a2dots as) = l(m,a1a2dots ar,,ar+1ar+2dots asr),
isto é, multiplicar por 10^r desloca a vírgula r casas para a direita.

Passo 2

Escrevemos o número em forma de soma de potências de dez:
X = (m,a1a2dots as) = m ;+;sumi=1^sai,10^-i

Passo 3

Multiplicando por 10^r obtém-se
10^rX = m,10^r ;+;sumi=1^sai,10^,r-i

Passo 4

Como s>r, separamos a soma em dois blocos:
sumi=1^sai,10^r-i = sumi=1^rai,10^r-i ;+;sumi=r+1^sai,10^r-i
  • Para 1<= i<= r, o expoente r-i>=0 produz um inteiro cuja expansão concatena os dígitos a1dots ar.
  • Para i=r+1,dots,s, reindexando por j=i-r, temos sumi=r+1^sai,10^r-i = sumj=1^s-rar+j,10^-j = 0ar+1ar+2dots as

Passo 5

Juntando,
10^rX = l(underbracem,10^r+sumi=1^rai10^r-iinteiro m,a1dots arr) ;+;0ar+1dots as = (m,a1a2dots ar,,ar+1ar+2dots as)

Resposta

A regra está justificada pelo fato de que multiplicar por 10^r desloca a vírgula r casas para a direita, transformando os primeiros r dígitos decimais em parte inteira e deixando o resto como parte fracionária.

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