Determine r in Z de maneira que as seguintes frações ordinárias representem números inteiros:
10 r2 r-1

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os inteiros r tais que a fração
10r2r-1
seja um número inteiro. Vamos usar a ideia de divisibilidade: para que 10r2r-1 seja inteiro, o denominador 2r-1 deve dividir o numerador 10r.

Passo 2

Observamos que
gcd(2r-1,;r)=1
porque qualquer divisor comum de 2r-1 e r também divide
(2r-1)-2cdot r = -1,
logo só pode ser pm1.
Então
gcd(2r-1,;10r) = gcd(2r-1,;10),cdotgcd(2r-1,;r) = gcd(2r-1,;10)
Isso mostra que 2r-1 deve dividir 10.

Passo 3

Os divisores inteiros de 10 são
pm1,;pm2,;pm5,;pm10
Como 2r-1 é ímpar, só precisamos testar
pm1 e pm5.
Para cada divisor din-5,-1,1,5 resolvemos
2r-1 = d Longrightarrow r = d+12
Isso dá
  • para d=-5: r = tfrac-5+12 = -2,
  • para d=-1: r = tfrac-1+12 = 0,
  • para d=1: r = tfrac1+12 = 1,
  • para d=5: r = tfrac5+12 = 3.

Passo 4

Bastam verificar rapidamente que, para cada rin-2,0,1,3,
tfrac10r2r-1 realmente é inteiro.

Resposta

Os valores de r são
-2,;0,;1,;3

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