Os lados de um quadrilátero inscritível são: \mathrm{AB}=2,1 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=4,5 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=6 \mathrm{~cm} e \mathrm{DA}=7,2 cm . Calcular as diagonais do quadrilátero e o raio do círculo circunscrito a ABCD .

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero cíclico ABCD com lados
AB=a=2{,}1\,,\quad BC=b=4{,}5\,,\quad CD=c=6\,,\quad DA=d=7{,}2\quad(\text{cm}).
Queremos as diagonais AC e BD e o raio R do círculo circunscrito.
Conteúdos necessários:
– Fórmula de Brahmagupta para a área K de quadrilátero cíclico.
– Relações de área em função das diagonais e do raio R.
– Teorema de Ptolemeu: AC\cdot BD = a\,c + b\,d.

Passo 2

Calculamos o semiperímetro
s=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{2{,}1+4{,}5+6+7{,}2}{2}=9{,}9
e a área pelo teorema de Brahmagupta
K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} =\sqrt{(9{,}9-2{,}1)(9{,}9-4{,}5)(9{,}9-6)(9{,}9-7{,}2)} \approx21{,}07\\ (\text{cm}^2).

Passo 3

Separamos o quadrilátero pela diagonal AC em dois triângulos cíclicos. A área do triângulo ABC vale
K_1=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R} =\frac{a\,b\,AC}{4R},
e do triângulo CDA:
K_2=\frac{CD\cdot DA\cdot AC}{4R} =\frac{c\,d\,AC}{4R}.
Como K=K_1+K_2, obtemos
K=\frac{AC}{4R}\bigl(a\,b + c\,d\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{AC}{R}=\frac{4K}{\,a\,b+c\,d\,} =\frac{4\cdot21{,}07}{2{,}1\cdot4{,}5 + 6\cdot7{,}2} \approx1{,}600.

Passo 4

Analogamente, separando pela diagonal BD temos
K=\frac{BD}{4R}\bigl(a\,d + b\,c\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{BD}{R}=\frac{4K}{\,a\,d+b\,c\,} =\frac{4\cdot21{,}07}{2{,}1\cdot7{,}2 + 4{,}5\cdot6} \approx2{,}000.

Passo 5

Pelo teorema de Ptolemeu em quadrilátero cíclico:
AC\cdot BD = a\,c + b\,d = 2{,}1\cdot6 + 4{,}5\cdot7{,}2 = 45.
Substituindo AC=1{,}600\,R e BD=2{,}000\,R
(1{,}600\,R)\,(2{,}000\,R)=45 \quad\Longrightarrow\quad R^2=\frac{45}{1{,}600\cdot2{,}000}\cdot10^6 =14{,}0625 \quad\Longrightarrow\quad R=3{,}75\\ (\text{cm}).

Passo 6

De volta às relações de passos 3 e 4:
AC=1{,}600\,R\approx1{,}600\cdot3{,}75=6{,}00\\ (\text{cm}), \qquad BD=2{,}000\,R\approx2{,}000\cdot3{,}75=7{,}50\\ (\text{cm}).

Resposta

As diagonais valem
\displaystyle AC=6{,}00\\ \text{cm} e \displaystyle BD=7{,}50\\ \text{cm},
e o raio do circuncírculo é \displaystyle R=3{,}75\\ \text{cm}.

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