Os lados de um quadrilátero inscritível são:
e
cm . Calcular as diagonais do quadrilátero e o raio do círculo circunscrito a ABCD .
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero cíclico
com lados
Queremos as diagonais
e
e o raio
do círculo circunscrito.
Conteúdos necessários:
– Fórmula de Brahmagupta para a área de quadrilátero cíclico.
– Relações de área em função das diagonais e do raio .
– Teorema de Ptolemeu: .
Conteúdos necessários:
– Fórmula de Brahmagupta para a área
– Relações de área em função das diagonais e do raio
– Teorema de Ptolemeu:
Passo 2
Calculamos o semiperímetro
e a área pelo teorema de Brahmagupta
Passo 3
Separamos o quadrilátero pela diagonal
em dois triângulos cíclicos. A área do triângulo
vale
e do triângulo
:
Como
, obtemos
Passo 4
Analogamente, separando pela diagonal
temos
Passo 5
Pelo teorema de Ptolemeu em quadrilátero cíclico:
Substituindo
e
dá
Passo 6
De volta às relações de passos 3 e 4:
Resposta
As diagonais valem
e
,
e o raio do circuncírculo é .
e o raio do circuncírculo é