Um ponto
, sobre o lado
do triângulo retângulo
, é marcado de modo que
. O ponto Q está na hipotenusa AC tal que PQ é perpendicular a AC . Se
, determine a medida de BQ , usando o teorema de Ptolomeu.
Passo 1
Resumindo: temos o triângulo retângulo em
, com catetos
e
logo a hipotenusa é
O ponto
está em
e
é a projeção de
sobre
(portanto
). Queremos
aplicando o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero cíclico
.
Passo 2
Calcular
. No triângulo retângulo
em
, pelo Teorema de Pitágoras,
Passo 3
Calcular
. Note que
divide
ao meio, então a área de
é metade da área de
:
No
,
é a altura relativa à base
, então
Passo 4
Calcular
. No triângulo retângulo
em
, vale
Passo 5
Mostrar que
,
,
e
são concíclicos. De fato
logo
, condição de concyclicidade.
Passo 6
Aplicar Ptolomeu no quadrilátero cíclico
:
Substituindo os valores:
logo