Um ponto P, sobre o lado A B do triângulo retângulo \triangle \mathrm{ABC}, é marcado de modo que \mathrm{BP}= \mathrm{PA}=2. O ponto Q está na hipotenusa AC tal que PQ é perpendicular a AC . Se \mathrm{CB}=3, determine a medida de BQ , usando o teorema de Ptolomeu.

Passo 1

Resumindo: temos o triângulo retângulo em B, com catetos
AB = BP + PA = 2 + 2 = 4
e
BC = 3,
logo a hipotenusa é
AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.
O ponto P está em AB e Q é a projeção de P sobre AC (portanto PQ\perp AC). Queremos BQ aplicando o Teorema de Ptolomeu no quadrilátero cíclico C\!-\!B\!-\!P\!-\!Q.

Passo 2

Calcular CP. No triângulo retângulo \triangle CBP em B, pelo Teorema de Pitágoras,
CP = \sqrt{CB^2 + BP^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}.

Passo 3

Calcular PQ. Note que P divide AB ao meio, então a área de \triangle APC é metade da área de \triangle ABC:
\mathcal{A}_{ABC} = \tfrac12\cdot AB\cdot BC = \tfrac12\cdot4\cdot3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{A}_{APC} = 3.
No \triangle APC, PQ é a altura relativa à base AC, então
\mathcal{A}_{APC} = \frac{AC\cdot PQ}{2} \;\Longrightarrow\; PQ = \frac{2\cdot3}{5} = \frac{6}{5}.

Passo 4

Calcular CQ. No triângulo retângulo \triangle CPQ em Q, vale
CP^2 = CQ^2 + PQ^2 \;\Longrightarrow\; CQ = \sqrt{CP^2 - PQ^2} = \sqrt{13 - \Bigl(\tfrac{6}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{325 - 36}{25}} = \frac{17}{5}.

Passo 5

Mostrar que C, B, P e Q são concíclicos. De fato
\angle CBP = 90^\circ \quad\text{e}\quad \angle CQP = 90^\circ,
logo \angle CBP + \angle CQP = 180^\circ, condição de concyclicidade.

Passo 6

Aplicar Ptolomeu no quadrilátero cíclico C\!-\!B\!-\!P\!-\!Q:
CP \cdot BQ = CB \cdot PQ + BP \cdot CQ.
Substituindo os valores:
\sqrt{13}\,BQ = 3\cdot\frac{6}{5} + 2\cdot\frac{17}{5} = \frac{18 + 34}{5} = \frac{52}{5},
logo
BQ = \frac{52}{5\,\sqrt{13}} = \frac{52\sqrt{13}}{5\cdot13} = \frac{4\sqrt{13}}{5}.

Resposta

BQ = \frac{4\sqrt{13}}{5}.

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