Considere um quadrilátero inscritivel ABCD cujos lados \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD} e DA medem, respectivamente, 1, 2, 2 e 3 .
a) Calcule o valor da área do quadrilátero ABCD .
b) Calcule o valor da menor diagonal deste quadrilátero.
c) Determine o valor da mediana de Euler do quadrilátero.
d) Determine o valor do raio do círculo circunscrito ao quadrilátero.

Passo 1

O enunciado diz que ABCD é um quadrilátero cíclico com lados
AB=1,\quad BC=2,\quad CD=2,\quad DA=3.
Precisamos de quatro resultados diferentes:
– a área do quadrilátero (usando a fórmula de Brahmagupta),
– a menor diagonal (usando leis dos cossenos em triângulos com ângulos suplementares em quadrilátero cíclico),
– a mediana de Euler (segmento que liga os pontos médios das diagonais, via identidade de Euler para quadriláteros),
– o raio do círculo circunscrito (pela lei dos senos em um dos triângulos).

Passo 2

Para a área usamos Brahmagupta. O semiperímetro é
p=\frac{AB+BC+CD+DA}{2}=\frac{1+2+2+3}{2}=4.
Então
\mathcal{A} =\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-DA)} =\sqrt{(4-1)(4-2)(4-2)(4-3)} =\sqrt{3\cdot2\cdot2\cdot1} =2\sqrt{3}.

Passo 3

Chamemos \theta=\angle ABC. Em um quadrilátero cíclico tem-se \angle ADC=180^\circ-\theta.
No \triangle ABC pela lei dos cossenos:
AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\theta =1^2+2^2-2\cdot1\cdot2\cos\theta =5-4\cos\theta.
No \triangle ADC:
AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cos(180^\circ-\theta) =3^2+2^2-2\cdot3\cdot2(-\cos\theta) =13+12\cos\theta.
Igualando as duas expressões:
5-4\cos\theta=13+12\cos\theta \;\Longrightarrow\; -4\cos\theta-12\cos\theta=13-5 \;\Longrightarrow\; \cos\theta=-\tfrac12.
Logo
AC^2=5-4\bigl(-\tfrac12\bigr)=5+2=7 \quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{7}.
Esse é o menor dos dois diagonais.

Passo 4

Pelo teorema de Ptolemy num quadrilátero cíclico:
AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA =1\cdot2+2\cdot3=8.
Como AC=\sqrt7, segue
BD=\frac{8}{\sqrt7}.

Passo 5

A mediana de Euler m (segmento que une os pontos médios das diagonais) satisfaz a identidade
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 =AC^2+BD^2+4m^2.
Calculamos
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 =1^2+2^2+2^2+3^2=18, \quad AC^2=7, \quad BD^2=\frac{64}{7}.
Logo
4m^2 =18-\Bigl(7+\tfrac{64}{7}\Bigr) =18-\frac{113}{7} =\frac{126-113}{7} =\frac{13}{7},
de onde
m^2=\frac{13}{28} \quad\Longrightarrow\quad m=\sqrt{\frac{13}{28}}.

Passo 6

Para o raio R do circuncírculo usamos a lei dos senos no \triangle ABC:
\frac{AC}{\sin\theta}=2R \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{AC}{2\sin\theta} =\frac{\sqrt7}{2\sin120^\circ} =\frac{\sqrt7}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{\sqrt7}{\sqrt3} =\sqrt{\frac{7}{3}}.

Resposta

a) \,2\sqrt{3}.
b) \,\sqrt{7}.
c) \,\sqrt{\tfrac{13}{28}}.
d) \,\sqrt{\tfrac{7}{3}}.

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