Considere um quadrilátero inscritivel ABCD cujos lados
e DA medem, respectivamente, 1, 2, 2 e 3 .
a) Calcule o valor da área do quadrilátero ABCD .
b) Calcule o valor da menor diagonal deste quadrilátero.
c) Determine o valor da mediana de Euler do quadrilátero.
d) Determine o valor do raio do círculo circunscrito ao quadrilátero.
a) Calcule o valor da área do quadrilátero ABCD .
b) Calcule o valor da menor diagonal deste quadrilátero.
c) Determine o valor da mediana de Euler do quadrilátero.
d) Determine o valor do raio do círculo circunscrito ao quadrilátero.
Passo 1
O enunciado diz que
é um quadrilátero cíclico com lados
Precisamos de quatro resultados diferentes:
– a área do quadrilátero (usando a fórmula de Brahmagupta),
– a menor diagonal (usando leis dos cossenos em triângulos com ângulos suplementares em quadrilátero cíclico),
– a mediana de Euler (segmento que liga os pontos médios das diagonais, via identidade de Euler para quadriláteros),
– o raio do círculo circunscrito (pela lei dos senos em um dos triângulos).
– a área do quadrilátero (usando a fórmula de Brahmagupta),
– a menor diagonal (usando leis dos cossenos em triângulos com ângulos suplementares em quadrilátero cíclico),
– a mediana de Euler (segmento que liga os pontos médios das diagonais, via identidade de Euler para quadriláteros),
– o raio do círculo circunscrito (pela lei dos senos em um dos triângulos).
Passo 2
Para a área usamos Brahmagupta. O semiperímetro é
Então
Passo 3
Chamemos
. Em um quadrilátero cíclico tem-se
.
No pela lei dos cossenos:
No
No
:
Igualando as duas expressões:
Logo
Esse é o menor dos dois diagonais.
Passo 4
Pelo teorema de Ptolemy num quadrilátero cíclico:
Como
, segue
Passo 5
A mediana de Euler
(segmento que une os pontos médios das diagonais) satisfaz a identidade
Calculamos
Logo
de onde
Passo 6
Para o raio
do circuncírculo usamos a lei dos senos no
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)