(UF-AM) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética (P.A.), então o cosseno do menor ângulo deste triângulo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética e pede o cosseno do menor ângulo desse triângulo. Vamos usar definição de PA, o Teorema de Pitágoras e a definição de cosseno num triângulo retângulo.
Passo 2
Sejam os comprimentos dos lados em PA dados por
com
. Como é triângulo retângulo, o maior lado
é a hipotenusa, e os outros dois são catetos. Aplicando Pitágoras:
Expandindo e simplificando:
Essa equação em
tem solução positiva
.
Passo 3
Com
, os lados valem
logo temos o clássico triângulo
(multiplicado por
), em que a hipotenusa é
.
Passo 4
O menor ângulo está oposto ao menor cateto
. Seja esse ângulo
. Então
Resposta
c)