(UF-AM) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética (P.A.), então o cosseno do menor ângulo deste triângulo é igual a:
a) 35
b) 34
c) 45
d) raiz32
e) raiz22

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética e pede o cosseno do menor ângulo desse triângulo. Vamos usar definição de PA, o Teorema de Pitágoras e a definição de cosseno num triângulo retângulo.

Passo 2

Sejam os comprimentos dos lados em PA dados por
a, a+d, a+2d,
com d>0. Como é triângulo retângulo, o maior lado (a+2d) é a hipotenusa, e os outros dois são catetos. Aplicando Pitágoras:
a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2
Expandindo e simplificando:
a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad +4d^2
2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 +4ad +4d^2
a^2 -2ad -3d^2 = 0
Essa equação em a tem solução positiva a=3d.

Passo 3

Com a=3d, os lados valem
3d, 4d, 5d,
logo temos o clássico triângulo 3!-!4!-!5 (multiplicado por d), em que a hipotenusa é 5d.

Passo 4

O menor ângulo está oposto ao menor cateto 3d. Seja esse ângulo alpha. Então
cos(alpha) =cateto adjacentehipotenusa =4d5d =45

Resposta

c) 45

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