(UF-RN) No sítio de Fibonacci, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um sobrariam doze laranjas e, se fossem colocados em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam doze laranjas. A quantidade de laranjas que sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada seria:
a) 2
b) 6
c) 11
d) 13

Passo 1

O enunciado pede um número N de laranjas tal que 500 < N < 1500 e que satisfaça simultaneamente
N equiv 12 pmod50 e N equiv 12 pmod36,
depois queremos o resto de N ao dividir por 35. O conteúdo aplicado é resolução de sistema de congruências e, em seguida, cálculo de resto de divisão.

Passo 2

Escrevemos N = 50a + 12 e N = 36b + 12. Igualando,
50a + 12 = 36b + 12 ;Longrightarrow; 50a = 36b ;Longrightarrow; 25a = 18b
Para que isso ocorra, a deve ser múltiplo de 18, digamos a=18k, e então b=25k. Logo
N = 50cdot(18k) + 12 = 900k + 12

Passo 3

Como 500 < N < 1500, testamos valores inteiros de k:
  • Para k=1: N = 900cdot1 + 12 = 912, que está no intervalo.
  • Para k=2: N = 1800 + 12 = 1812, que ultrapassa 1500.
    Portanto o único N válido é 912.

Passo 4

Agora calculamos o resto de 912 ao dividir por 35:
912 = 35 times 26 + 2,
logo o resto é 2.

Resposta

2

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