Liguemos o vértice da parábola
com todos os outros pontos da parábola. Mostre que os pontos médios das cordas resultantes estão sobre uma outra parábola. Ache o foco e a diretriz dessa segunda parábola.
Passo 1
O enunciado parte da parábola
com vértice em
. Ligamos esse vértice a um ponto genérico
da parábola e queremos a curva formada pelos pontos médios dessas cordas. Vamos usar o método de parametrizar um ponto genérico e depois calcular seu ponto médio.
Passo 2
Seja
um ponto qualquer de
. Então
O ponto médio
entre
e
tem coordenadas
Passo 3
Em
substituímos
:
Como
, temos
ou seja
Isso mostra que os pontos médios formam a parábola de equação
.
Passo 4
A forma padrão de uma parábola vertical é
em que o foco é
e a diretriz é
. Comparando
Resposta
A parábola dos pontos médios é
cujo foco é
e cuja diretriz é