Liguemos o vértice da parábola x^2=4 p y com todos os outros pontos da parábola. Mostre que os pontos médios das cordas resultantes estão sobre uma outra parábola. Ache o foco e a diretriz dessa segunda parábola.

Passo 1

O enunciado parte da parábola
x^2=4p,y
com vértice em (0,0). Ligamos esse vértice a um ponto genérico (x,y) da parábola e queremos a curva formada pelos pontos médios dessas cordas. Vamos usar o método de parametrizar um ponto genérico e depois calcular seu ponto médio.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto qualquer de x^2=4p,y. Então
y=x^24p
O ponto médio M=(X,Y) entre (0,0) e (x,y) tem coordenadas
X=x2, Y=y2

Passo 3

Em Y substituímos y=tfracx^24p:
Y=12,x^24p=x^28p
Como x=2X, temos
Y=(2X)^28p=4X^28p=X^22p,
ou seja
X^2=2p,Y
Isso mostra que os pontos médios formam a parábola de equação X^2=2p,Y.

Passo 4

A forma padrão de uma parábola vertical é
X^2=4a,Y,
em que o foco é (0,a) e a diretriz é Y=-a. Comparando
4a=2p Longrightarrow a=p2

Resposta

A parábola dos pontos médios é
X^2=2p,Y,
cujo foco é l(0,tfracp2r) e cuja diretriz é
Y=-p2

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