(lME-79) Dadas as matrizes:
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-2 & 0 & 0 \\\\ 3 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1+\mathrm{x}\end{array}\right) e \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -\mathrm{x} & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right),
determine x, sabendo que existe uma matriz inversivel P tal que A=P^{-1} . B . P

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix}x-2 & 0 & 0 \\[6pt] 3 & -1 & 1 \\[3pt] 1 & 0 & x+1\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}0 & -x & 0 \\[3pt] -1 & 1 & 1 \\[3pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para determinar x sabendo que existe uma matriz invertível P tal que
A = P^{-1}\,B\,P.
Como matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico, em particular mesmo traço e mesmo determinante, vamos usar esses invariantes para ver se há algum x que torne A e B semelhantes.]

Passo 2

Calcular o traço de A e de B.
O traço de A é a soma dos elementos da diagonal:
\mathrm{tr}(A) = (x-2) + (-1) + (x+1) = 2x - 2.
O traço de B é
\mathrm{tr}(B) = 0 + 1 + (-1) = 0.
Para haver semelhança, deve valer
2x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 3

Calcular os determinantes de A e de B.
Para A, como há zeros na primeira linha,
\det(A) = (x-2)\,\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 0 & x+1\end{pmatrix} = (x-2)\bigl((-1)(x+1)-1\cdot 0\bigr) = -(x-2)(x+1).
Para B, expandindo na primeira linha,
\det(B) = 0 \;-\;(-x)\,\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 1 & -1\end{pmatrix} = x\bigl((-1)(-1)-1\cdot1\bigr) = x\,(1-1) = 0.]

Passo 4

Verificar a compatibilidade para x=1.
Se x=1, então
\det(A) = -\bigl(1-2\bigr)\bigl(1+1\bigr) = -(-1)\,2 = 2,
enquanto \det(B)=0.
Como \det(A)\neq\det(B), as matrizes não podem ser semelhantes para x=1.

Passo 5

Concluir que não existe nenhum valor de x (nem real nem complexo) que torne A e B semelhantes, pois o requisito de igualar traço levou a x=1, mas nesse valor o determinante de A difere do determinante de B.

Resposta

Não existe valor de x tal que exista matriz invertível P com A=P^{-1}BP.
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